atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7;
vidiniai kryžminiai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
išoriniai kryžminiai kampai: 1 ir 7, 2 ir 8;
vidiniai vienpusiai kampai: 3 ir 6, 4 ir 5;
išoriniai vienpusiai kampai: 1 ir 8, 2 ir 7.
Taigi, ∠ 2 = ∠ 4 ir ∠ 8 = ∠ 6, bet pagal įrodytą ∠ 4 = ∠ 6.
Todėl ∠ 2 = ∠ 8.
3. Atitinkami kampai 2 ir 6 yra vienodi, nes ∠ 2 = ∠ 4 ir ∠ 4 = ∠ 6. Taip pat įsitikiname, kad kiti atitinkami kampai yra lygūs.
4. Suma vidiniai vienpusiai kampai 3 ir 6 bus 2d, nes suma gretimų kampų 3 ir 4 yra lygūs 2d = 180 0 , o ∠ 4 galima pakeisti identišku ∠ 6. Taip pat įsitikinkite, kad kampų suma 4 ir 5 yra lygūs 2d.
5. Suma išoriniai vienpusiai kampai bus 2d, nes šie kampai yra atitinkamai lygūs vidiniai vienpusiai kampai kaip kampai vertikaliai.
Iš aukščiau įrodyto pagrindimo gauname atvirkštinės teoremos.
Kai dviejų savavališkos trečiosios eilutės eilučių sankirtoje gauname, kad:
1. Vidiniai kryžminiai gulėjimo kampai yra vienodi;
arba 2. Išoriniai kryžminiai gulėjimo kampai yra vienodi;
arba 3. Atitinkami kampai yra vienodi;
arba 4. Vidinių vienpusių kampų suma lygi 2d = 180 0 ;
arba 5. Išorinio vienpusio suma yra 2d = 180 0 ,
tada pirmosios dvi tiesės yra lygiagrečios.
1. Pirmasis paralelizmo požymis.
Jei dviejų tiesių sankirtoje su trečiąja vidiniai kampai yra lygūs, tada šios linijos yra lygiagrečios.
Tegul tieses AB ir CD kerta tiesė EF ir ∠1 = ∠2. Paimkime tašką O – sekanto EF atkarpos KL vidurį (pav.).
Statmeną OM numeskime iš taško O į tiesę AB ir tęskime tol, kol susikirs su tiese CD, AB ⊥ MN. Įrodykime, kad ir CD ⊥ MN.
Norėdami tai padaryti, apsvarstykite du trikampius: MOE ir NOK. Šie trikampiai yra lygūs vienas kitam. Iš tiesų: ∠1 = ∠2 pagal teoremos hipotezę; OK = OL – pagal konstrukciją;
∠MOL = ∠NOK kaip vertikalūs kampai. Taigi, vieno trikampio kraštinė ir du kampai, esantys šalia jo, yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir du kampai, esantys šalia jo; todėl ΔMOL = ΔNOK, taigi ∠LMO = ∠KNO,
bet ∠LMO yra tiesioginis, taigi ∠KNO taip pat yra tiesioginis. Taigi tiesės AB ir CD yra statmenos tai pačiai tiesei MN, todėl lygiagrečios, ką reikėjo įrodyti.
Pastaba. Tiesių MO ir CD sankirta gali būti nustatyta pasukus trikampį MOL aplink tašką O 180°.
2. Antrasis paralelizmo požymis.
Pažiūrėkime, ar tiesės AB ir CD lygiagrečios, jei jų trečiosios tiesės EF sankirtoje atitinkami kampai yra lygūs.
Tegul kai kurie atitinkami kampai yra lygūs, pavyzdžiui, ∠ 3 = ∠2 (pav.);
∠3 = ∠1 kaip vertikalūs kampai; taigi ∠2 bus lygus ∠1. Tačiau kampai 2 ir 1 yra vidiniai skersiniai kampai, ir mes jau žinome, kad jei dviejų tiesių susikirtimo trečdaliu vidiniai skersiniai gulėjimo kampai yra lygūs, tai šios linijos yra lygiagrečios. Todėl AB || CD.
Jei dviejų trečiosios tiesių sankirtoje atitinkami kampai yra lygūs, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.
Šia savybe remiasi lygiagrečių linijų konstravimas liniuote ir braižymo trikampiu. Tai daroma taip.
Prie liniuotės pritvirtinkime trikampį, kaip parodyta pav. Mes perkelsime trikampį taip, kad viena jo kraštinė slystų išilgai liniuotės, o išilgai bet kurios kitos trikampio pusės nubrėžsime kelias tiesias linijas. Šios linijos bus lygiagrečios.
3. Trečiasis paralelizmo požymis.
Žinokime, kad dviejų tiesių AB ir CD susikirtimo su trečiąja tiese bet kurių vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d(arba 180°). Ar tiesės AB ir CD šiuo atveju bus lygiagrečios (pav.).
Tegul ∠1 ir ∠2 yra vienpusiai vidiniai kampai ir pridėkite iki 2 d.
Bet ∠3 + ∠2 = 2 d kaip gretimi kampai. Todėl ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Taigi ∠1 = ∠3, ir šie vidiniai kampai yra kryžminiai. Todėl AB || CD.
Jei dviejų tiesių sankirtoje su trečdaliu, vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d (arba 180°), tada dvi linijos yra lygiagrečios.
Lygiagrečių linijų ženklai:
1. Jei dviejų tiesių sankirtoje su trečdaliu vidiniai kryžminiai gulėjimo kampai yra lygūs, tai šios tiesės yra lygiagrečios.2. Jei dviejų trečiosios tiesių sankirtoje atitinkami kampai yra lygūs, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.
3. Jei dviejų trečiosios tiesių sankirtoje vidinių vienpusių kampų suma yra 180 °, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.
4. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios viena kitai.
5. Jei dvi tiesės yra statmenos trečiajai tiesei, tai jos yra lygiagrečios viena kitai.
Euklido paralelizmo aksioma
Užduotis. Per tašką M, paimtą už tiesės AB, nubrėžkite tiesę, lygiagrečią tiesei AB.
Naudojant įrodytas teoremas apie tiesių lygiagretumo ženklus, šią problemą galima išspręsti įvairiais būdais,
Sprendimas. 1-asis s o s o b (199 pav.).
Nubrėžiame MN⊥AB ir per tašką M nubrėžiame CD⊥MN;
gauname CD⊥MN ir AB⊥MN.
Remdamiesi teorema („Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai tiesei, tai jos lygiagrečios.“) darome išvadą, kad СD || AB.
2-asis s p o s o b (200 pav.).
Nubrėžiame MK, kertančią AB bet kuriuo kampu α, o per tašką M nubrėžiame tiesę EF, sudarydami kampą EMK su tiesia linija MK, lygiu kampui α. Remdamiesi teorema () darome išvadą, kad EF || AB.
Išsprendę šią problemą, galime laikyti įrodytu, kad per bet kurį tašką M, paimtą už tiesės AB, galima nubrėžti jam lygiagrečią tiesę. Kyla klausimas, kiek gali egzistuoti tiesių, lygiagrečių nurodytai tiesei ir einančių per nurodytą tašką?
Konstrukcijų praktika leidžia daryti prielaidą, kad tokia linija yra tik viena, nes kruopščiai atlikus brėžinį per tą patį tašką įvairiais būdais nubrėžtos linijos, lygiagrečios tai pačiai linijai, susilieja.
Teoriškai atsakymą į šį klausimą duoda vadinamoji Euklido paralelizmo aksioma; jis suformuluotas taip:
Per tašką, paimtą už nurodytos linijos, galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią šiai linijai.
201 brėžinyje per tašką O nubrėžta tiesė SK, lygiagreti tiesei AB.
Bet kuri kita tiesė, einanti per tašką O, nebebus lygiagreti tiesei AB, o ją susikirs.
Euklido savo elementuose priimta aksioma, teigianti, kad plokštumoje per tašką, paimtą už tam tikros tiesės, lygiagrečiai šiai tiesei galima nubrėžti tik vieną tiesę, vadinama Euklido paralelizmo aksioma.
Daugiau nei du tūkstančius metų po Euklido daugelis matematikų bandė įrodyti šį matematinį teiginį, tačiau jų bandymai visada buvo nesėkmingi. Tik 1826 m. didysis rusų mokslininkas, Kazanės universiteto profesorius Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis įrodė, kad naudojant visas kitas Euklido aksiomas, šis matematinis teiginys negali būti įrodytas, kad jis tikrai turėtų būti laikomas aksioma. N. I. Lobačevskis sukūrė naują geometriją, kuri, priešingai nei Euklido geometrija, buvo vadinama Lobačevskio geometrija.
Šis skyrius skirtas lygiagrečių tiesių tyrimui. Taip vadinamos dvi tiesios linijos plokštumoje, kurios nesikerta. Aplinkoje matome lygiagrečių linijų segmentus – tai dvi stačiakampio stalo briaunos, dvi knygos viršelio briaunos, dvi troleibuso juostos ir t.t.. Lygiagrečios linijos vaidina labai svarbų vaidmenį geometrijoje. Šiame skyriuje sužinosite, kas yra geometrijos aksiomos ir iš ko susideda lygiagrečių tiesių aksioma – viena žinomiausių geometrijos aksiomų.
1 skyriuje pažymėjome, kad dvi tiesės arba turi vieną bendrą tašką, tai yra, jos susikerta, arba neturi vieno bendro taško, tai yra, jos nesikerta.
Apibrėžimas
Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a || b.
98 paveiksle pavaizduotos tiesės a ir b, statmenos tiesei c. 12 skirsnyje nustatėme, kad tokios tiesės a ir b nesikerta, tai yra lygiagrečios.
Ryžiai. 98
Kartu su lygiagrečiomis linijomis dažnai atsižvelgiama į lygiagrečius segmentus. Du segmentai vadinami lygiagrečiai jei jie guli lygiagrečiose tiesėse. 99 paveiksle atkarpos AB ir CD yra lygiagrečios (AB || CD), o atkarpos MN ir CD nėra lygiagrečios. Panašiai nustatomas atkarpos ir tiesės (99 pav., b), spindulio ir tiesės, atkarpos ir spindulio, dviejų spindulių (99 pav., c) lygiagretumas.
Ryžiai. 99 Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai
Tiesiogiai su vadinama sekantas tiesių a ir b atžvilgiu, jei kerta jas dviejuose taškuose (100 pav.). Tiesių a ir b sankirtoje sekantas c sudaro aštuonis kampus, kurie 100 paveiksle pažymėti skaičiais. Kai kurios šių kampų poros turi specialius pavadinimus:
kryžminiai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
vienpusiai kampai: 4 ir 5, 3 ir 6;
atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7.
Ryžiai. 100
Apsvarstykite tris dviejų tiesių, susijusių su šiomis kampų poromis, lygiagretumo požymius.
Teorema
Įrodymas
Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB gulėjimo kampai yra lygūs: ∠1 = ∠2 (101 pav., a).
Įrodykime, kad a || b. Jei kampai 1 ir 2 yra tiesūs (101 pav., b), tai tiesės a ir b yra statmenos tiesei AB, todėl lygiagrečios.
Ryžiai. 101
Apsvarstykite atvejį, kai kampai 1 ir 2 nėra teisingi.
Nuo atkarpos AB vidurio O nubrėžkite statmeną OH tiesei a (101 pav., c). Tiesėje b nuo taško B atidėsime atkarpą VH 1, lygią atkarpai AH, kaip parodyta 101 paveiksle, c ir nubrėžiame atkarpą OH 1. Trikampiai ONA ir OH 1 V yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), todėl ∠3 = ∠4 ir ∠5 = ∠6. Iš lygybės ∠3 = ∠4 išplaukia, kad taškas H 1 yra spindulio OH tęsinyje, ty taškai H, O ir H 1 yra toje pačioje tiesėje, o iš lygybės ∠5 = ∠6 jis yra iš to seka, kad kampas 6 yra tiesi linija (kadangi kampas 5 yra stačias kampas). Taigi tiesės a ir b yra statmenos tiesei HH 1, taigi jos yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su atitinkamais kampais bus lygus, pvz., ∠1 = ∠2 (102 pav.).
Ryžiai. 102
Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai ∠2 = ∠3. Šios dvi lygybės reiškia, kad ∠1 = ∠3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su vienpusių kampų suma yra 180°, pvz., ∠1 + ∠4 = 180° (žr. 102 pav.).
Kadangi kampai 3 ir 4 yra gretimi, tai ∠3 + ∠4 = 180°. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs, taigi tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Praktiški lygiagrečių linijų brėžimo būdai
Lygiagrečių linijų ženklais grindžiami lygiagrečių linijų kūrimo būdai, naudojant įvairius praktikoje naudojamus įrankius. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygiagrečių linijų konstravimo metodą, naudojant piešimo kvadratą ir liniuotę. Norėdami sukurti tiesę, einančią per tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, tiesei a pritaikome piešimo kvadratą, o jai – liniuotę, kaip parodyta 103 paveiksle. Tada perkeldami kvadratą išilgai liniuote užtikrins, kad taškas M būtų kvadrato šone ir nubrėžtų liniją b. Tiesės a ir b yra lygiagrečios, nes atitinkami kampai, 103 paveiksle pažymėti raidėmis α ir β, yra lygūs.
Ryžiai. 103 104 paveiksle parodytas lygiagrečių linijų, naudojant T kvadratą, sudarymo metodas. Šis metodas naudojamas piešimo praktikoje.
Ryžiai. 104 Panašus būdas taikomas ir atliekant staliaus darbus, kai nuožulniu būdu pažymimos lygiagrečios linijos (dvi medinės lentos tvirtinamos vyriais, 105 pav.).
Ryžiai. 105
Užduotys
186. 106 paveiksle tieses a ir b kerta tiese c. Įrodykite, kad a || b jei:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, o kampas 7 yra tris kartus didesnis už kampą 3.
Ryžiai. 106
187. Pagal 107 paveikslą įrodykite, kad AB || D.E.
Ryžiai. 107
188. Atkarpos AB ir CD susikerta jų bendrame viduryje. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.
189. Naudodamiesi 108 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad BC || REKLAMA.
Ryžiai. 108
190. 109 paveiksle AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Įrodykite, kad DE || AS.
Ryžiai. 109
191. Atkarpa VK yra trikampio ABC pusiausvyra. Per tašką K nubrėžiama tiesė, kertanti kraštinę BC taške M taip, kad BM = MK. Įrodykite, kad tiesės KM ir AB yra lygiagrečios.
192. Trikampyje ABC kampas A yra 40°, o kampas ALL, esantis greta kampo ACB, yra 80°. Įrodykite, kad kampo ALL bisektorius lygiagretus tiesei AB.
193. Trikampyje ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Tiesė BD brėžiama per viršūnę B taip, kad spindulys BC būtų kampo ABD pusiausvyra. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.
194. Nubraižykite trikampį. Per kiekvieną šio trikampio viršūnę, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei.
195. Nubrėžkite trikampį ABC ir pažymėkite tašką D kraštinėje AC. Per tašką D, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias kitoms dviem trikampio kraštinėms.
Šis skyrius skirtas lygiagrečių tiesių tyrimui. Taip vadinamos dvi tiesios linijos plokštumoje, kurios nesikerta. Aplinkoje matome lygiagrečių linijų segmentus – tai dvi stačiakampio stalo briaunos, dvi knygos viršelio briaunos, dvi troleibuso juostos ir t.t.. Lygiagrečios linijos vaidina labai svarbų vaidmenį geometrijoje. Šiame skyriuje sužinosite, kas yra geometrijos aksiomos ir iš ko susideda lygiagrečių tiesių aksioma – viena žinomiausių geometrijos aksiomų.
1 skyriuje pažymėjome, kad dvi tiesės arba turi vieną bendrą tašką, tai yra, jos susikerta, arba neturi vieno bendro taško, tai yra, jos nesikerta.
Apibrėžimas
Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a || b.
98 paveiksle pavaizduotos tiesės a ir b, statmenos tiesei c. 12 skirsnyje nustatėme, kad tokios tiesės a ir b nesikerta, tai yra lygiagrečios.
Ryžiai. 98
Kartu su lygiagrečiomis linijomis dažnai atsižvelgiama į lygiagrečius segmentus. Du segmentai vadinami lygiagrečiai jei jie guli lygiagrečiose tiesėse. 99 paveiksle atkarpos AB ir CD yra lygiagrečios (AB || CD), o atkarpos MN ir CD nėra lygiagrečios. Panašiai nustatomas atkarpos ir tiesės (99 pav., b), spindulio ir tiesės, atkarpos ir spindulio, dviejų spindulių (99 pav., c) lygiagretumas.
Ryžiai. 99 Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai
Tiesiogiai su vadinama sekantas tiesių a ir b atžvilgiu, jei kerta jas dviejuose taškuose (100 pav.). Tiesių a ir b sankirtoje sekantas c sudaro aštuonis kampus, kurie 100 paveiksle pažymėti skaičiais. Kai kurios šių kampų poros turi specialius pavadinimus:
kryžminiai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
vienpusiai kampai: 4 ir 5, 3 ir 6;
atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7.
Ryžiai. 100
Apsvarstykite tris dviejų tiesių, susijusių su šiomis kampų poromis, lygiagretumo požymius.
Teorema
Įrodymas
Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB gulėjimo kampai yra lygūs: ∠1 = ∠2 (101 pav., a).
Įrodykime, kad a || b. Jei kampai 1 ir 2 yra tiesūs (101 pav., b), tai tiesės a ir b yra statmenos tiesei AB, todėl lygiagrečios.
Ryžiai. 101
Apsvarstykite atvejį, kai kampai 1 ir 2 nėra teisingi.
Nuo atkarpos AB vidurio O nubrėžkite statmeną OH tiesei a (101 pav., c). Tiesėje b nuo taško B atidėsime atkarpą VH 1, lygią atkarpai AH, kaip parodyta 101 paveiksle, c ir nubrėžiame atkarpą OH 1. Trikampiai ONA ir OH 1 V yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), todėl ∠3 = ∠4 ir ∠5 = ∠6. Iš lygybės ∠3 = ∠4 išplaukia, kad taškas H 1 yra spindulio OH tęsinyje, ty taškai H, O ir H 1 yra toje pačioje tiesėje, o iš lygybės ∠5 = ∠6 jis yra iš to seka, kad kampas 6 yra tiesi linija (kadangi kampas 5 yra stačias kampas). Taigi tiesės a ir b yra statmenos tiesei HH 1, taigi jos yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su atitinkamais kampais bus lygus, pvz., ∠1 = ∠2 (102 pav.).
Ryžiai. 102
Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai ∠2 = ∠3. Šios dvi lygybės reiškia, kad ∠1 = ∠3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su vienpusių kampų suma yra 180°, pvz., ∠1 + ∠4 = 180° (žr. 102 pav.).
Kadangi kampai 3 ir 4 yra gretimi, tai ∠3 + ∠4 = 180°. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs, taigi tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Praktiški lygiagrečių linijų brėžimo būdai
Lygiagrečių linijų ženklais grindžiami lygiagrečių linijų kūrimo būdai, naudojant įvairius praktikoje naudojamus įrankius. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygiagrečių linijų konstravimo metodą, naudojant piešimo kvadratą ir liniuotę. Norėdami sukurti tiesę, einančią per tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, tiesei a pritaikome piešimo kvadratą, o jai – liniuotę, kaip parodyta 103 paveiksle. Tada perkeldami kvadratą išilgai liniuote užtikrins, kad taškas M būtų kvadrato šone ir nubrėžtų liniją b. Tiesės a ir b yra lygiagrečios, nes atitinkami kampai, 103 paveiksle pažymėti raidėmis α ir β, yra lygūs.
Ryžiai. 103 104 paveiksle parodytas lygiagrečių linijų, naudojant T kvadratą, sudarymo metodas. Šis metodas naudojamas piešimo praktikoje.
Ryžiai. 104 Panašus būdas taikomas ir atliekant staliaus darbus, kai nuožulniu būdu pažymimos lygiagrečios linijos (dvi medinės lentos tvirtinamos vyriais, 105 pav.).
Ryžiai. 105
Užduotys
186. 106 paveiksle tieses a ir b kerta tiese c. Įrodykite, kad a || b jei:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, o kampas 7 yra tris kartus didesnis už kampą 3.
Ryžiai. 106
187. Pagal 107 paveikslą įrodykite, kad AB || D.E.
Ryžiai. 107
188. Atkarpos AB ir CD susikerta jų bendrame viduryje. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.
189. Naudodamiesi 108 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad BC || REKLAMA.
Ryžiai. 108
190. 109 paveiksle AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Įrodykite, kad DE || AS.
Ryžiai. 109
191. Atkarpa VK yra trikampio ABC pusiausvyra. Per tašką K nubrėžiama tiesė, kertanti kraštinę BC taške M taip, kad BM = MK. Įrodykite, kad tiesės KM ir AB yra lygiagrečios.
192. Trikampyje ABC kampas A yra 40°, o kampas ALL, esantis greta kampo ACB, yra 80°. Įrodykite, kad kampo ALL bisektorius lygiagretus tiesei AB.
193. Trikampyje ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Tiesė BD brėžiama per viršūnę B taip, kad spindulys BC būtų kampo ABD pusiausvyra. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.
194. Nubraižykite trikampį. Per kiekvieną šio trikampio viršūnę, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei.
195. Nubrėžkite trikampį ABC ir pažymėkite tašką D kraštinėje AC. Per tašką D, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias kitoms dviem trikampio kraštinėms.
Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kraštinių tęsinys.
Paveikslėlyje pavaizduoti kampai 1 ir 3 , taip pat kampus 2 ir 4 - vertikaliai. Kampas 2 yra greta abiejų kampų 1 , ir su kampu 3. Pagal gretimų kampų savybę 1 +2 =180 0 ir 3 +2 = 1800. Iš čia gauname: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Taigi kampų laipsniai matuoja 1 ir 3 yra lygūs. Iš to išplaukia, kad patys kampai yra lygūs. Taigi vertikalūs kampai yra lygūs.
2. Trikampių lygybės ženklai.
Jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampas tarp jų, tai tokie trikampiai yra sutampa.
Jei vieno trikampio kraštinė ir du gretimi kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir dviem gretiems kampams, tai tokie trikampiai yra sutampa.
3. Jei vieno trikampio trys kraštinės atitinkamai lygios kito trikampio trims kraštinėms, tai tokie trikampiai yra lygūs.
1 trikampių lygybės ženklas:
Apsvarstykite trikampius ABC ir A 1 B 1 C 1, kuriuose AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, kampai A ir A 1 yra lygūs. Įrodykime, kad ABC=A 1 B 1 C 1 .
Kadangi (y) A \u003d (y) A 1, tada trikampis ABC gali būti uždėtas ant trikampio A 1 B 1 C 1 taip, kad viršūnė A būtų sulygiuota su viršūne A1, o kraštinės AB ir AC būtų uždėtos viena ant kitos, atitinkamai ant spindulių A 1 B 1 ir A 1 C 1 . Kadangi AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tada pusė AB bus sujungta su puse A 1 B 1, o pusė AC - su puse A 1 C 1; visų pirma taškai B ir B 1 , C ir C 1 sutaps. Todėl kraštinės BC ir B 1 C 1 bus išlygintos. Taigi, trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 yra visiškai suderinami, vadinasi, yra lygūs. CTD
3. Lygiašonio trikampio pusiausvyros teorema.
Lygiašonio trikampio pusė, nubrėžta į pagrindą, yra mediana ir aukštis.
Pažiūrėkime į paveikslą, kuriame ABC yra lygiašonis trikampis, kurio pagrindas BC, AD yra jo pusiaukraštis.
Iš trikampių ABD ir ACD lygybės (pagal 2-ąjį trikampių lygybės kriterijų: AD yra bendras; kampai 1 ir 2 yra lygūs, nes AD bisektorius; AB=AC, nes trikampis yra lygiašonis) išplaukia, kad BD = DC ir 3 = 4. Lygybė BD = DC reiškia, kad taškas D yra kraštinės BC vidurio taškas, todėl AD yra trikampio ABC mediana. Kadangi kampai 3 ir 4 yra gretimi ir lygūs vienas kitam, jie yra stačiakampiai. Todėl atkarpa AO taip pat yra trikampio ABC aukštis. CHTD.
4. Jei tiesės lygiagrečios -> kampas…. (neprivaloma)
5. Jei kampas ... ..-> linijos yra lygiagrečios (nebūtina)
Jei dviejų sekanto tiesių sankirtoje atitinkami kampai yra lygūs, tai tiesės yra lygiagrečios.
Tegul sekanto tiesių a ir b sankirtos su atitinkamais kampais bus lygios, pavyzdžiui, 1=2.
Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai 2=3. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad 1=3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. CHTD.
6. Teorema apie trikampio kampų sumą.
Trikampio kampų suma lygi 180 0.
Apsvarstykite savavališką trikampį ABC ir įrodykite, kad A+B+C=180 0 .
Per viršūnę B nubrėžkime tiesę a, lygiagrečią kraštinei AC. 1 ir 4 kampai yra kryžminiai gulėjimo kampai lygiagrečių tiesių a ir AC susikirtimo taške AB, o kampai 3 ir 5 yra kryžminiai gulėjimo kampai tų pačių lygiagrečių tiesių susikirtimo taške BC. Todėl (1)4=1; 5=3.
Akivaizdu, kad kampų 4, 2 ir 5 suma lygi tiesiam kampui su viršūne B, t.y. 4+2+5=1800 . Vadinasi, atsižvelgę į lygybes (1), gauname: 1+2+3=180 0 arba A+B+C=180 0 .
7. Stačiųjų trikampių lygybės ženklas.
