3 番目の 2 つの線の交点は内部です。 2 つの線の平行の兆候。平行線の性質。横方向の角度が等しい

ABとからD 3 番目の線と交差 ミネソタ州の場合、この場合に形成される角度は、ペアで次の名前を受け取ります。

対応する角度: 1 と 5、4 と 8、2 と 6、3 と 7。

内部交差コーナー: 3 と 5、4 と 6;

外部交差コーナー: 1 と 7、2 と 8。

内側の片隅: 3 と 6、4 と 5;

外側の片側コーナー: 1 と 8、2 と 7。

したがって、∠ 2 = ∠ 4 および ∠ 8 = ∠ 6 ですが、証明された ∠ 4 = ∠ 6 によります。

したがって、∠ 2 = ∠ 8 です。

3. それぞれの角度∠ 2 = ∠ 4 と ∠ 4 = ∠ 6 であるため、2 と 6 は同じです。対応する他の角度が等しいことも確認します。

4. 和 内側の片隅 3 と 6 は 2 次元になります。 隣接する角 3 と 4 は 2d = 180 0 に等しく、∠ 4 は同じ ∠ 6 に置き換えることができます。 角度の合計 4 と 5 は 2d に等しい。

5. 和 外側の片側コーナーこれらの角度はそれぞれ等しいため、2d になります。 内側の片隅角のような垂直.

上で証明された正当化から、 逆定理。

任意の 3 番目の線の 2 つの線の交点で、次のことが得られます。

1. 内部クロス横たわる角度は同じです。

または2。外部交差横たわる角度は同じです。

または3。対応する角度は同じです。

または 4.内角の合計は 2d = 180 0 です。

または5。外側の片側の合計は 2d = 180 0 ,

最初の 2 つの線は平行です。

1. 平行性の最初の兆候。

2 本の直線と 3 番目の直線との交点で、交差する内角が等しい場合、これらの直線は平行です。

直線 AB と直線 CD が直線 EF と交差し、∠1 = ∠2 とします。割線 EF の線分 KL の中央である点 O を取りましょう (図)。

点 O から線分 AB に垂線 OM を落とし、それが線分 CD と交差するまで、AB ⊥ MN としましょう。 CD ⊥ MN も証明しよう。

これを行うには、MOE と NOK の 2 つの三角形を考えます。これらの三角形は互いに等しいです。確かに: 定理の仮説により ∠1 = ∠2; OK = OL - 構造による。

∠MOL = ∠NOK は鉛直角です。したがって、1 つの三角形の辺とそれに隣接する 2 つの角は、別の三角形の辺とそれに隣接する 2 つの角にそれぞれ等しくなります。したがって、ΔMOL = ΔNOK、したがって ∠LMO = ∠KNO、
しかし、∠LMO は直接なので、∠KNO も直接です。したがって、線分 AB と線分 CD は同じ線分 MN に対して垂直であり、したがって平行であることが証明されました。

ノート。 直線 MO と CD の交点は、三角形 MOL を点 O の周りで 180°回転させることによって確立できます。

2. 平行性の 2 番目の兆候。

3 番目の線 EF の交点で、対応する角度が等しい場合、線 AB と CD が平行かどうかを見てみましょう。

対応するいくつかの角度が等しいとします。たとえば、∠ 3 = ∠2 (図)。

∠3 = ∠1 は頂角として; したがって、∠2 は ∠1 に等しくなります。しかし、角度 2 と 1 は内部の横方向の角度であり、2 本の線と 3 番目の線との交点で、内部の横方向の角度が等しい場合、これらの線は平行であることは既にわかっています。したがって、AB || CD。

3 番目の 2 つの線の交点で対応する角度が等しい場合、これらの 2 つの線は平行です。

定規と描画三角形を使用した平行線の作成は、このプロパティに基づいています。これは次のように行われます。

図のように定規に三角形をつけてみましょう。三角形の 1 つの辺が定規に沿ってスライドするように三角形を移動し、三角形の他の辺に沿っていくつかの直線を引きます。これらの線は平行になります。

3. 平行性の 3 つ目の兆候。

2 つの直線 AB と CD の 3 番目の直線による交点で、内側の片側角度の合計が 2 に等しいことを教えてください。 d(または 180°)。この場合、AB線とCD線は平行になりますか（図）。

∠1 と ∠2 を片側内角とし、合計 2 d.

しかし、∠3 + ∠2 = 2 d隣接角として。したがって、∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2 です。

したがって、∠1 = ∠3 であり、これらの内角は交差しています。したがって、AB || CD。

2 本の直線と 3 分の 1 の交点で、内角の和が等しい場合 2 d (または 180°) の場合、2 つの線は平行です。

平行線の兆候:

1. 2 本の直線と 3 分の 1 の交点で、交差する内部角度が等しい場合、これらの線は平行です。
2. 3 番目の 2 つの線の交点で、対応する角度が等しい場合、これらの 2 つの線は平行です。
3. 3 番目の 2 つの線の交点で、内側の片側角度の合計が 180 ° の場合、これらの 2 つの線は平行です。
4. 2 本の線が 3 本目の線に平行な場合、それらは互いに平行です。
5. 2 本の線が 3 本目の線に垂直な場合、それらは互いに平行です。

ユークリッドの並列性の公理

仕事。線分ABの外側にある点Mを通り、線分ABに平行な線を引きます。

線の平行性の符号に関する実証済みの定理を使用すると、この問題はさまざまな方法で解決できます。

解決。 1st s o s o b (図 199)。

MN⊥AB を描き、点 M を通って CD⊥MN を描きます。

CD⊥MN と AB⊥MN が得られます。

定理 (「2 つの直線が同じ直線に対して垂直である場合、それらは平行である」) に基づいて、СD || と結論付けます。 AB。

2nd sposo b (図 200)。

任意の角度 α で AB と交差する MK を描き、点 M を通って直線 EF を描き、角度 α に等しい直線 MK と角度 EMK を形成します。定理 () に基づいて、EF || と結論付けます。 AB。

この問題を解決したので、直線 AB の外側にある任意の点 M を通って、それに平行な直線を引くことができることが証明されたと考えることができます。与えられた直線に平行で、与えられた点を通る直線は何本存在できるかという疑問が生じます。

作図の実践では、そのような線は 1 つだけであると想定できます。これは、慎重に実行された描画により、同じ点を通り、同じ線に平行にさまざまな方法で描かれた線が合体するためです。

理論的には、この質問に対する答えは、いわゆるユークリッドの並列性の公理によって与えられます。次のように定式化されます。

与えられた線の外側にある点を通って、この線に平行に引ける線は 1 本だけです。

図面２０１では、点Ｏを通り、直線ＡＢに平行な直線ＳＫが描かれている。

点 O を通るその他の直線は、直線 AB と平行ではなくなり、交差します。

ユークリッドが原論で採用した公理は、与えられた線の外側にある点を通る平面上に、この線に平行に引ける線は 1 本だけであると述べています。ユークリッドの並列性の公理.

ユークリッドから 2000 年以上にわたって、多くの数学者がこの数学的命題を証明しようとしましたが、彼らの試みは常に失敗に終わりました。 1826 年になって初めて、ロシアの偉大な科学者でカザン大学のニコライイワノビッチロバチョフスキー教授が、他のすべてのユークリッドの公理を使用しても、この数学的命題は証明できないことを証明しました。 N. I. ロバチェフスキーは、ユークリッドの幾何学とは対照的に、ロバチェフスキーの幾何学と呼ばれる新しい幾何学を作成しました。

この章では、平行線の研究に専念します。これは、交差しない平面上の 2 つの直線に付けられた名前です。環境内に平行線のセグメントが見られます。これらは、長方形のテーブルの 2 つの端、本の表紙の 2 つの端、2 つのトロリーバスのバーなどです。平行線は、ジオメトリにおいて非常に重要な役割を果たします。この章では、幾何学の公理とは何か、平行線の公理が何で構成されているかについて学びます - 幾何学の最も有名な公理の 1 つです。

セクション 1 では、2 つの直線には共通点が 1 つある (交差する) か、共通点が 1 つない (交差しない) かのいずれかであることに注意しました。

意味

直線 a と直線 b の平行度は次のように表されます。 b.

図 98 は、線 c に垂直な線 a と b を示しています。セクション 12 では、そのような線 a と b が交差しない、つまり平行であることを確立しました。

米。 98

平行線とともに、平行線分が考慮されることがよくあります。 2 つのセグメントが呼び出されます。平行それらが平行線上にある場合。図 99 では、線分 AB と CD は平行 (AB || CD) で、線分 MN と CD は平行ではありません。同様に、線分と直線 (図 99、b)、線と直線、線分と線、2 つの線 (図 99、c) の平行度が決定されます。

米。 99 2 つの線の平行の兆候

直接と呼ばれる割線線 a と b に関して、2 点で交差する場合 (図 100)。直線 a と b の交点で、割線 c は 8 つの角度を形成します。これらの角度は、図 100 に数字で示されています。これらの角度のいくつかのペアには、特別な名前があります。

十字の角: 3 と 5、4 と 6;
片隅: 4 と 5、3 と 6;
対応する角度: 1 と 5、4 と 8、2 と 6、3 と 7。

米。 100

これらの角度のペアに関連付けられている 2 つの直線の平行度の 3 つの兆候を考えてみましょう。

定理

証拠

割線 AB による線 a と b の交点で、横たわる角度が等しいと仮定します: ∠1 = ∠2 (図 101、a)。

|| であることを証明しましょう。 b. 角度 1 と 2 が直角の場合 (図 101、b)、線 a と b は線 AB に垂直であり、したがって平行です。

米。 101

角度 1 と 2 が正しくない場合を考えてみましょう。

線分 AB の中央 O から直線 a に垂線 OH を引く (図 101、c)。点 B からの直線 b 上に、図 101 の c に示すように、線分 AH に等しい線分 VH 1 を脇に置き、線分 OH 1 を描きます。三角形 ONA と OH 1 V は、2 つの辺とそれらの間の角度 (AO = BO、AN = VN 1、∠1 = ∠2) が等しいため、∠3 = ∠4 および ∠5 = ∠6 です。等式 ∠3 = ∠4 から、点 H 1 は光線 OH の延長上にあるということになります。つまり、点 H、O、および H 1 は同じ直線上にあり、等式 ∠5 = ∠6 から、したがって、角度 6 は直線です (角度 5 は直角であるため)。したがって、線分 a と線分 b は線 HH 1 に垂直であるため、これらは平行です。 定理は証明されました。

定理

証拠

線 a と b の交点で、対応する角度を持つ正割が等しいとします。たとえば、∠1 = ∠2 (図 102)。

米。 102

角度 2 と 3 は垂直なので、∠2 = ∠3 です。これら 2 つの等式は、∠1 = ∠3 であることを意味します。しかし、角度 1 と 3 は交差しているので、直線 a と b は平行です。 定理は証明されました。

定理

証拠

線 a と線 b の交点で、片側角の和を持つ正割が 180° であるとします。たとえば、∠1 + ∠4 = 180° です (図 102 を参照)。

角度 3 と 4 は隣接しているので、∠3 + ∠4 = 180° です。これらの 2 つの等式から、横方向の角度 1 と 3 が等しいことがわかります。したがって、直線 a と b は平行です。 定理は証明されました。

平行線を引く実用的な方法

平行線の記号は、実際に使用されるさまざまなツールを使用して平行線を作成する方法の根底にあります。例えば、四角と定規を使って平行線を作図する方法を考えてみましょう。点 M を通り、与えられた線 a に平行な直線を作成するには、図 103 に示すように、直線 a に正方形の描画を適用し、それに定規を適用します。次に、定規に沿って正方形を移動します。点 M が正方形の辺にあることを確認し、線 b を描画します。線 a と b は平行です。これは、図 103 に文字 α と β で示されている対応する角度が等しいからです。

米。 103図 104 は、T スクエアを使用して平行線を作成する方法を示しています。この方法は、描画の練習で使用されます。

米。 104大工仕事を行う際にも同様の方法が使用され、平行線をマークするためにベベルが使用されます (ヒンジで固定された 2 つの木製の厚板、図 105)。

米。 105

タスク

186. 図 106 では、線 a と線 b が線 c と交差しています。 || であることを証明します。 b 次の場合:

a) ∠1 = 37°、∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°、角度 7 は角度 3 の 3 倍です。

米。 106

187. 図 107 によると、AB || を証明します。 D.E.

米。 107

188. セグメント AB と CD は共通の中央で交差します。直線 AC と直線 BD が平行であることを証明してください。

189. 図 108 のデータを使用して、BC || を証明します。広告。

米。 108

190. 図 109 では、AB = BC、AD = DE、∠C = 70°、∠EAC = 35°。 DE || であることを証明するなので。

米。 109

191. 線分 VK は、三角形 ABC の二等分線です。点 K を通り、点 M で辺 BC と交わる直線を引くと、BM = MK となります。直線 KM と AB が平行であることを証明してください。

192. 三角形 ABC では、角 A は 40°で、角 ACB に隣接する角 ALL は 80°です。角 ALL の二等分線が線分 AB と平行であることを証明してください。

193. 三角形 ABC では、∠A = 40°、∠B = 70°。直線 BD は頂点 B を通って引かれ、光線 BC は角 ABD の二等分線になります。直線 AC と直線 BD が平行であることを証明してください。

194. 三角形を描いてください。この三角形の各頂点を通り、正方形と定規を使用して、反対側に平行な直線を引きます。

195. 三角形 ABC を描き、辺 AC 上の点 D に印を付けます。点 D を通り、四角形と定規を使用して、三角形の他の 2 辺に平行な直線を引きます。

セクション 1 では、2 つの直線には共通点が 1 つある (交差する) か、共通点が 1 つない (交差しない) かのいずれかであることに注意しました。

意味

直線 a と直線 b の平行度は次のように表されます。 b.

図 98 は、線 c に垂直な線 a と b を示しています。セクション 12 では、そのような線 a と b が交差しない、つまり平行であることを確立しました。

米。 98

米。 99 2 つの線の平行の兆候

十字の角: 3 と 5、4 と 6;
片隅: 4 と 5、3 と 6;
対応する角度: 1 と 5、4 と 8、2 と 6、3 と 7。

米。 100

これらの角度のペアに関連付けられている 2 つの直線の平行度の 3 つの兆候を考えてみましょう。

定理

証拠

割線 AB による線 a と b の交点で、横たわる角度が等しいと仮定します: ∠1 = ∠2 (図 101、a)。

|| であることを証明しましょう。 b. 角度 1 と 2 が直角の場合 (図 101、b)、線 a と b は線 AB に垂直であり、したがって平行です。

米。 101

角度 1 と 2 が正しくない場合を考えてみましょう。

定理

証拠

線 a と b の交点で、対応する角度を持つ正割が等しいとします。たとえば、∠1 = ∠2 (図 102)。

米。 102

定理

証拠

線 a と線 b の交点で、片側角の和を持つ正割が 180° であるとします。たとえば、∠1 + ∠4 = 180° です (図 102 を参照)。

平行線を引く実用的な方法

米。 103図 104 は、T スクエアを使用して平行線を作成する方法を示しています。この方法は、描画の練習で使用されます。

米。 105

タスク

186. 図 106 では、線 a と線 b が線 c と交差しています。 || であることを証明します。 b 次の場合:

a) ∠1 = 37°、∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°、角度 7 は角度 3 の 3 倍です。

米。 106

187. 図 107 によると、AB || を証明します。 D.E.

米。 107

188. セグメント AB と CD は共通の中央で交差します。直線 AC と直線 BD が平行であることを証明してください。

189. 図 108 のデータを使用して、BC || を証明します。広告。

米。 108

190. 図 109 では、AB = BC、AD = DE、∠C = 70°、∠EAC = 35°。 DE || であることを証明するなので。

米。 109

192. 三角形 ABC では、角 A は 40°で、角 ACB に隣接する角 ALL は 80°です。角 ALL の二等分線が線分 AB と平行であることを証明してください。

194. 三角形を描いてください。この三角形の各頂点を通り、正方形と定規を使用して、反対側に平行な直線を引きます。

195. 三角形 ABC を描き、辺 AC 上の点 D に印を付けます。点 D を通り、四角形と定規を使用して、三角形の他の 2 辺に平行な直線を引きます。

一方の角の辺が他方の角の辺の延長である場合、2 つの角は垂直と呼ばれます。

図は角を示しています 1 と 3 、および角度 2 と 4 - 垂直。コーナー 2 は両方の角度に隣接しています 1 、および角度 3. 隣接角の性質による 1 +2 =180 0 および 3 +2 =1800。ここから、次のことがわかります。 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. したがって、角度の次数測定 1 と 3 は同じ。角度自体は等しいということになります。したがって、頂角は等しくなります。

2. 三角形の等号の記号。

1 つの三角形の 2 つの辺とそれらの間の角度が、別の三角形の 2 つの辺とそれらの間の角度にそれぞれ等しい場合、そのような三角形は合同です。

ある三角形の辺と隣接する 2 つの角が、別の三角形の辺と隣接する 2 つの角にそれぞれ等しい場合、そのような三角形は合同です。

3. 1 つの三角形の 3 辺が別の三角形の 3 辺とそれぞれ等しい場合、そのような三角形は等しい。

三角形の等号の 1 つの記号:

AB \u003d A 1 B 1、AC \u003d A 1 C 1、角AとA 1が等しい三角形ABCとA 1 B 1 C 1を考えてみましょう。 ABC=A 1 B 1 C 1 であることを証明しましょう。
(y) A \u003d (y) A 1 なので、三角形 ABC を三角形 A 1 B 1 C 1 に重ねて、頂点 A を頂点 A1 に揃え、辺 AB と AC を重ね合わせることができます。それぞれ、光線 A 1 B 1 および A 1 C 1 で。 AB \u003d A 1 B 1、AC \u003d A 1 C 1なので、サイドABはサイドA 1 B 1と組み合わされ、サイドACはサイドA 1 C 1と組み合わされます。特に、ポイント B と B 1 、C と C 1 は一致します。したがって、辺 BC と B 1 C 1 は整列されます。したがって、三角形 ABC と A 1 B 1 C 1 は完全に互換性があり、等しいことを意味します。 CTD

3. 二等辺三角形の二等分線に関する定理。

二等辺三角形では、底辺に描かれた二等分線が中央値と高さになります。

図に目を向けると、ABC は BC を底辺とする二等辺三角形で、AD はその二等分線です。

三角形 ABD と ACD の等式から (三角形の等式の 2 番目の基準によると、AD は共通です。角度 1 と 2 は、AD 二等分線であるため、等しくなります。三角形は二等辺であるため、AB=AC)、BD が続きます。 = DC および 3 = 4. 等式 BD = DC は、点 D が辺 BC の中点であることを意味し、したがって AD は三角形 ABC の中線です。角度 3 と 4 は隣り合って等しいので、直角です。したがって、線分 AO は三角形 ABC の高さでもあります。 CHTD。

4. 線が平行の場合 -> 角度…. (オプション)

5. 角度が ... ..-> 線が平行の場合 (オプション)