odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;
unutrašnji poprečni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
vanjski poprečno ležeći uglovi: 1 i 7, 2 i 8;
unutrašnji jednostrani uglovi: 3 i 6, 4 i 5;
vanjski jednostrani uglovi: 1 i 8, 2 i 7.
Dakle, ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ali po dokazanom ∠ 4 = ∠ 6.
Dakle, ∠ 2 = ∠ 8.
3. Odgovarajući uglovi 2 i 6 su isti, jer je ∠ 2 = ∠ 4, i ∠ 4 = ∠ 6. Takođe vodimo računa da su ostali odgovarajući uglovi jednaki.
4. Suma unutrašnji jednostrani uglovi 3 i 6 će biti 2d jer je zbir susjedni uglovi 3 i 4 jednako je 2d = 180 0 , a ∠ 4 se može zamijeniti identičnim ∠ 6. Također provjerite da zbir uglova 4 i 5 jednako je 2d.
5. Suma vanjski jednostrani ugloviće biti 2d jer su ti uglovi jednaki unutrašnji jednostrani uglovi kao uglovi vertikalno.
Iz gore dokazanog opravdanja dobijamo inverzne teoreme.
Kada, na preseku dve prave proizvoljne treće linije, dobijemo da:
1. Unutrašnji poprečni uglovi su isti;
ili 2. Vanjski poprečni uglovi su isti;
ili 3. Odgovarajući uglovi su isti;
ili 4. Zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2d = 180 0 ;
ili 5. Zbir vanjskih jednostranih je 2d = 180 0 ,
tada su prve dvije linije paralelne.
1. Prvi znak paralelizma.
Ako su u presjeku dvije prave s trećom unutrašnji uglovi koji leže poprečno jednaki, tada su ove prave paralelne.
Neka prave AB i CD sijeku prava EF i ∠1 = ∠2. Uzmimo tačku O - sredinu segmenta KL sekante EF (sl.).
Ispustimo okomitu OM iz tačke O na pravu AB i nastavimo je dok se ne seče sa pravom CD, AB ⊥ MN. Dokažimo i da je CD ⊥ MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi trouglovi su međusobno jednaki. Zaista: ∠1 = ∠2 prema hipotezi teoreme; OK = OL - po konstrukciji;
∠MOL = ∠NOK kao vertikalni uglovi. Dakle, stranica i dva susedna ugla jednog trougla su, respektivno, jednaka strani i dva ugla koja su susedna sa njom drugog trougla; prema tome, ΔMOL = ΔNOK, i stoga ∠LMO = ∠KNO,
ali ∠LMO je direktan, stoga je ∠KNO takođe direktan. Dakle, prave AB i CD su okomite na istu pravu MN, dakle, paralelne su, što je i trebalo dokazati.
Bilješka. Presek pravih MO i CD može se utvrditi rotacijom trougla MOL oko tačke O za 180°.
2. Drugi znak paralelizma.
Pogledajmo da li su prave AB i CD paralelne ako su, na preseku njihove treće prave EF, odgovarajući uglovi jednaki.
Neka su neki odgovarajući uglovi jednaki, na primer ∠ 3 = ∠2 (Sl.);
∠3 = ∠1 kao vertikalni uglovi; pa će ∠2 biti jednako ∠1. Ali uglovi 2 i 1 su unutrašnji poprečni uglovi, a već znamo da ako su na preseku dve prave za trećinu unutrašnji poprečno ležeći uglovi jednaki, onda su ove prave paralelne. Dakle, AB || CD.
Ako su na presjeku dviju pravih trećeg odgovarajući uglovi jednaki, onda su ove dvije prave paralelne.
Na ovoj osobini se zasniva konstrukcija paralelnih linija uz pomoć ravnala i trougla za crtanje. To se radi na sljedeći način.
Pričvrstimo trokut na ravnalo kao što je prikazano na sl. Pomjerit ćemo trokut tako da jedna njegova strana klizi duž ravnala i nacrtati nekoliko ravnih linija duž bilo koje druge strane trokuta. Ove linije će biti paralelne.
3. Treći znak paralelizma.
Znajmo da je na presjeku dviju pravih AB i CD trećom pravom zbir svih unutrašnjih jednostranih uglova jednak 2 d(ili 180°). Da li će u ovom slučaju prave AB i CD biti paralelne (sl.).
Neka su ∠1 i ∠2 jednostrani unutrašnji uglovi i zbrojimo do 2 d.
Ali ∠3 + ∠2 = 2 d kao susedni uglovi. Dakle, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Dakle, ∠1 = ∠3, a ovi unutrašnji uglovi su poprečni. Dakle, AB || CD.
Ako je na presjeku dvije prave trećinom, zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2 d (ili 180°), tada su dvije prave paralelne.
Znakovi paralelnih linija:
1. Ako su na presjeku dvije prave za trećinu unutrašnji uglovi koji leže u križu jednaki, onda su ove prave paralelne.2. Ako su na presjeku dvije prave treće, odgovarajući uglovi jednaki, onda su ove dvije prave paralelne.
3. Ako je na presjeku dvije prave treće, zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, onda su ove dvije prave paralelne.
4. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne jedna s drugom.
5. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne jedna s drugom.
Euklidov aksiom paralelizma
Zadatak. Kroz tačku M uzetu izvan prave AB povucite pravu paralelnu pravoj AB.
Koristeći dokazane teoreme o predznacima paralelizma pravih, ovaj se problem može riješiti na različite načine,
Rješenje. 1. s o s o b (sl. 199).
Povučemo MN⊥AB i kroz tačku M povučemo CD⊥MN;
dobijamo CD⊥MN i AB⊥MN.
Na osnovu teoreme ("Ako su dvije prave okomite na istu pravu, onda su paralelne.") zaključujemo da je SD || AB.
2. s p o s o b (sl. 200).
Nacrtamo MK koji seče AB pod bilo kojim uglom α, a kroz tačku M povučemo pravu liniju EF, formirajući ugao EMK sa pravom linijom MK, jednak uglu α. Na osnovu teoreme () zaključujemo da je EF || AB.
Nakon što smo riješili ovaj problem, možemo smatrati da je dokazano da je kroz bilo koju tačku M, uzetu izvan prave AB, moguće povući pravu paralelnu s njom. Postavlja se pitanje koliko pravih paralelnih sa datom pravom i koje prolaze kroz datu tačku može postojati?
Praksa konstrukcija nam omogućava da pretpostavimo da postoji samo jedna takva prava, jer se kod pažljivo izvedenog crteža spajaju linije povučene na različite načine kroz istu tačku paralelnu sa istom linijom.
U teoriji, odgovor na ovo pitanje daje takozvani aksiom Euklidovog paralelizma; formulisan je ovako:
Kroz tačku uzetu izvan date prave može se povući samo jedna prava paralelna ovoj pravoj.
Na crtežu 201, kroz tačku O povučena je prava linija SK, paralelna sa pravom AB.
Svaka druga prava koja prolazi kroz tačku O više neće biti paralelna pravoj AB, već će je preseći.
Aksiom koji je usvojio Euklid u svojim Elementima, a koji kaže da se na ravni kroz tačku izvan date prave može povući samo jedna prava paralelna ovoj pravoj, naziva se Euklidov aksiom paralelizma.
Više od dvije hiljade godina nakon Euklida, mnogi matematičari su pokušavali da dokažu ovu matematičku tvrdnju, ali njihovi pokušaji su uvijek bili neuspješni. Tek 1826. godine veliki ruski naučnik, profesor Kazanskog univerziteta Nikolaj Ivanovič Lobačevski je dokazao da se, koristeći sve druge Euklidove aksiome, ovaj matematički predlog ne može dokazati, da ga zaista treba uzeti kao aksiom. N. I. Lobačevski je stvorio novu geometriju, koja je, za razliku od geometrije Euklida, nazvana geometrija Lobačevskog.
Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravih. Ovo je naziv za dvije prave u ravni koje se ne seku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija – to su dvije ivice pravougaonog stola, dvije ivice korice knjige, dvije trolejbuske šipke, itd. Paralelne linije igraju veoma važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju ćete naučiti šta su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih prava – jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.
U Odjeljku 1 primijetili smo da dvije prave ili imaju jednu zajedničku tačku, odnosno seku, ili nemaju jednu zajedničku tačku, odnosno ne seku.
Definicija
Paralelizam pravih a i b označava se na sljedeći način: a || b.
Slika 98 prikazuje prave a i b okomite na pravu c. U odeljku 12 utvrdili smo da se takve prave a i b ne sijeku, odnosno da su paralelne.
Rice. 98
Uz paralelne linije, često se razmatraju i paralelni segmenti. Dva segmenta se zovu paralelno ako leže na paralelnim pravima. Na slici 99, i segmenti AB i CD su paralelni (AB || CD), a segmenti MN i CD nisu paralelni. Slično, određuje se paralelizam segmenta i prave (sl. 99, b), zraka i prave, segmenta i zraka, dva zraka (slika 99, c).
Rice. 99 Znakovi paralelizma dvije prave
Direktno sa se zove secant u odnosu na prave a i b, ako ih siječe u dvije tačke (slika 100). Na presjeku pravih a i b, sekansa c formira osam uglova, koji su označeni brojevima na slici 100. Neki parovi ovih uglova imaju posebne nazive:
ukršteni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani uglovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.
Rice. 100
Razmotrite tri znaka paralelizma dvije prave povezane s ovim parovima uglova.
Teorema
Dokaz
Pretpostavimo da su na presjeku pravih a i b sekantom AB ležeći uglovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).
Dokažimo da je || b. Ako su uglovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su prave a i b okomite na pravu AB i, prema tome, paralelne.
Rice. 101
Razmotrimo slučaj kada uglovi 1 i 2 nisu pravi.
Iz sredine O segmenta AB povući okomitu OH na pravu liniju a (Sl. 101, c). Na pravoj b iz tačke B odvojimo odsječak VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo odsječak OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V su jednaki po dvije stranice i ugao između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), dakle ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da tačka H 1 leži na nastavku zraka OH, tj. tačke H, O i H 1 leže na istoj pravoj, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 slijedi da je ugao 6 prava linija (pošto je ugao 5 pravi ugao). Dakle, prave a i b su okomite na pravu HH 1, pa su paralelne. Teorema je dokazana.
Teorema
Dokaz
Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa odgovarajućim uglovima jednaka, na primer ∠1 = ∠2 (Sl. 102).
Rice. 102
Kako su uglovi 2 i 3 vertikalni, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali uglovi 1 i 3 su poprečni, tako da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.
Teorema
Dokaz
Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa zbirom jednostranih uglova 180°, na primer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).
Pošto su uglovi 3 i 4 susedni, onda je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ove dvije jednakosti slijedi da su poprečni uglovi 1 i 3 jednaki, pa su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.
Praktični načini crtanja paralelnih linija
Znakovi paralelnih pravih su u osnovi načina konstruisanja paralelnih linija uz pomoć različitih alata koji se koriste u praksi. Razmotrimo, na primjer, metodu za konstruiranje paralelnih linija pomoću kvadrata za crtanje i ravnala. Da bismo napravili pravu liniju koja prolazi kroz tačku M i paralelna je datoj pravoj a, na pravu a apliciramo kvadrat za crtanje, a na nju ravnalo kao što je prikazano na slici 103. Zatim, pomjerajući kvadrat duž ravnala, će osigurati da je tačka M na strani kvadrata , i nacrtati liniju b. Prave a i b su paralelne, jer su odgovarajući uglovi, označeni na slici 103 slovima α i β, jednaki.
Rice. 103 Slika 104 prikazuje metodu za konstruisanje paralelnih pravih pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.
Rice. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja stolarskih radova, gdje se kosina koristi za označavanje paralelnih linija (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).
Rice. 105
Zadaci
186. Na slici 106. prave a i b sijeku prava c. Dokazati da je || b ako:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a ugao 7 je tri puta veći od ugla 3.
Rice. 106
187. Prema slici 107 dokazati da je AB || D.E.
Rice. 107
188. Segmenti AB i CD seku se u zajedničkoj sredini. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.
189. Koristeći podatke na slici 108, dokazati da je BC || AD.
Rice. 108
190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokaži da DE || AS.
Rice. 109
191. Odsječak VK je simetrala trougla ABC. Kroz tačku K povučena je prava linija koja siječe stranu BC u tački M tako da je BM = MK. Dokazati da su prave KM i AB paralelne.
192. U trouglu ABC, ugao A je 40°, a ugao ALL pored ugla ACB je 80°. Dokazati da je simetrala ugla ALL paralelna pravoj AB.
193. U trouglu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Prava BD je povučena kroz vrh B tako da je zraka BC simetrala ugla ABD. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.
194. Nacrtaj trougao. Kroz svaki vrh ovog trokuta, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povucite pravu liniju paralelnu sa suprotnom stranom.
195. Nacrtaj trougao ABC i označi tačku D na strani AC. Kroz tačku D, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povući ravne linije paralelne sa druge dvije strane trougla.
Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravih. Ovo je naziv za dvije prave u ravni koje se ne seku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija – to su dvije ivice pravougaonog stola, dvije ivice korice knjige, dvije trolejbuske šipke, itd. Paralelne linije igraju veoma važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju ćete naučiti šta su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih prava – jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.
U Odjeljku 1 primijetili smo da dvije prave ili imaju jednu zajedničku tačku, odnosno seku, ili nemaju jednu zajedničku tačku, odnosno ne seku.
Definicija
Paralelizam pravih a i b označava se na sljedeći način: a || b.
Slika 98 prikazuje prave a i b okomite na pravu c. U odeljku 12 utvrdili smo da se takve prave a i b ne sijeku, odnosno da su paralelne.
Rice. 98
Uz paralelne linije, često se razmatraju i paralelni segmenti. Dva segmenta se zovu paralelno ako leže na paralelnim pravima. Na slici 99, i segmenti AB i CD su paralelni (AB || CD), a segmenti MN i CD nisu paralelni. Slično, određuje se paralelizam segmenta i prave (sl. 99, b), zraka i prave, segmenta i zraka, dva zraka (slika 99, c).
Rice. 99 Znakovi paralelizma dvije prave
Direktno sa se zove secant u odnosu na prave a i b, ako ih siječe u dvije tačke (slika 100). Na presjeku pravih a i b, sekansa c formira osam uglova, koji su označeni brojevima na slici 100. Neki parovi ovih uglova imaju posebne nazive:
ukršteni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani uglovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.
Rice. 100
Razmotrite tri znaka paralelizma dvije prave povezane s ovim parovima uglova.
Teorema
Dokaz
Pretpostavimo da su na presjeku pravih a i b sekantom AB ležeći uglovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).
Dokažimo da je || b. Ako su uglovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su prave a i b okomite na pravu AB i, prema tome, paralelne.
Rice. 101
Razmotrimo slučaj kada uglovi 1 i 2 nisu pravi.
Iz sredine O segmenta AB povući okomitu OH na pravu liniju a (Sl. 101, c). Na pravoj b iz tačke B odvojimo odsječak VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo odsječak OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V su jednaki po dvije stranice i ugao između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), dakle ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da tačka H 1 leži na nastavku zraka OH, tj. tačke H, O i H 1 leže na istoj pravoj, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 slijedi da je ugao 6 prava linija (pošto je ugao 5 pravi ugao). Dakle, prave a i b su okomite na pravu HH 1, pa su paralelne. Teorema je dokazana.
Teorema
Dokaz
Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa odgovarajućim uglovima jednaka, na primer ∠1 = ∠2 (Sl. 102).
Rice. 102
Kako su uglovi 2 i 3 vertikalni, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali uglovi 1 i 3 su poprečni, tako da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.
Teorema
Dokaz
Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa zbirom jednostranih uglova 180°, na primer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).
Pošto su uglovi 3 i 4 susedni, onda je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ove dvije jednakosti slijedi da su poprečni uglovi 1 i 3 jednaki, pa su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.
Praktični načini crtanja paralelnih linija
Znakovi paralelnih pravih su u osnovi načina konstruisanja paralelnih linija uz pomoć različitih alata koji se koriste u praksi. Razmotrimo, na primjer, metodu za konstruiranje paralelnih linija pomoću kvadrata za crtanje i ravnala. Da bismo napravili pravu liniju koja prolazi kroz tačku M i paralelna je datoj pravoj a, na pravu a apliciramo kvadrat za crtanje, a na nju ravnalo kao što je prikazano na slici 103. Zatim, pomjerajući kvadrat duž ravnala, će osigurati da je tačka M na strani kvadrata , i nacrtati liniju b. Prave a i b su paralelne, jer su odgovarajući uglovi, označeni na slici 103 slovima α i β, jednaki.
Rice. 103 Slika 104 prikazuje metodu za konstruisanje paralelnih pravih pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.
Rice. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja stolarskih radova, gdje se kosina koristi za označavanje paralelnih linija (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).
Rice. 105
Zadaci
186. Na slici 106. prave a i b sijeku prava c. Dokazati da je || b ako:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a ugao 7 je tri puta veći od ugla 3.
Rice. 106
187. Prema slici 107 dokazati da je AB || D.E.
Rice. 107
188. Segmenti AB i CD seku se u zajedničkoj sredini. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.
189. Koristeći podatke na slici 108, dokazati da je BC || AD.
Rice. 108
190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokaži da DE || AS.
Rice. 109
191. Odsječak VK je simetrala trougla ABC. Kroz tačku K povučena je prava linija koja siječe stranu BC u tački M tako da je BM = MK. Dokazati da su prave KM i AB paralelne.
192. U trouglu ABC, ugao A je 40°, a ugao ALL pored ugla ACB je 80°. Dokazati da je simetrala ugla ALL paralelna pravoj AB.
193. U trouglu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Prava BD je povučena kroz vrh B tako da je zraka BC simetrala ugla ABD. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.
194. Nacrtaj trougao. Kroz svaki vrh ovog trokuta, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povucite pravu liniju paralelnu sa suprotnom stranom.
195. Nacrtaj trougao ABC i označi tačku D na strani AC. Kroz tačku D, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povući ravne linije paralelne sa druge dvije strane trougla.
Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla produžetak stranica drugog.
Na slici su prikazani uglovi 1 i 3 , kao i uglovi 2 i 4 - vertikalno. Ugao 2 je susedna oba ugla 1 , i sa uglom 3. Prema svojstvu susjednih uglova 1 +2 =180 0 i 3 +2 =1800. Odavde dobijamo: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Dakle, stepen mjere uglova 1 i 3 su jednaki. Iz toga slijedi da su sami uglovi jednaki. Dakle, vertikalni uglovi su jednaki.
2. Znakovi jednakosti trouglova.
Ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trougla, respektivno, jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti podudarni.
Ako su stranica i dva susjedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susjedna ugla drugog trougla, tada su takvi trouglovi podudarni.
3. Ako su tri strane jednog trougla respektivno jednake trima stranicama drugog trougla, onda su ti trouglovi jednaki.
1 znak jednakosti trokuta:
Razmotrimo trouglove ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima su AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, uglovi A i A 1 jednaki. Dokažimo da je ABC=A 1 B 1 C 1 .
Budući da (y) A = (y) A 1, onda se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat sa vrhom A1, a stranice AB i AC su superponirane, na zracima A 1 B 1 i A 1 C 1 . Budući da AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tada će se strana AB kombinirati sa stranom A 1 B 1, a strana AC - sa stranom A 1 C 1; posebno, tačke B i B 1 , C i C 1 će se poklopiti. Stoga će stranice BC i B 1 C 1 biti poravnate. Dakle, trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki. CTD
3. Teorema o simetrali jednakokračnog trougla.
U jednakokračnom trokutu, simetrala povučena do osnove je medijana i visina.
Okrenimo se slici na kojoj je ABC jednakokraki trougao sa bazom BC, AD je njegova simetrala.
Iz jednakosti trouglova ABD i ACD (prema 2. kriteriju jednakosti trokuta: AD je zajednički; uglovi 1 i 2 su jednaki jer je AD-simetrala; AB=AC, pošto je trokut jednakokrak) slijedi da je BD = DC i 3 = 4. Jednakost BD = DC znači da je tačka D središte stranice BC i stoga je AD medijana trougla ABC. Pošto su uglovi 3 i 4 susedni i jednaki jedan drugom, oni su pravi uglovi. Dakle, segment AO je i visina trougla ABC. CHTD.
4. Ako su prave paralelne -> ugao…. (opciono)
5. Ako su ugao ... ..-> prave paralelne (opciono)
Ako su u presjeku dvije prave sekante odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne.
Neka su na presjeku pravih a i b sekante sa odgovarajućim uglovima jednaki, na primjer 1=2.
Pošto su uglovi 2 i 3 vertikalni, onda je 2=3. Iz ove dvije jednakosti slijedi da je 1=3. Ali uglovi 1 i 3 su poprečni, tako da su prave a i b paralelne. CHTD.
6. Teorema o zbiru uglova trougla.
Zbir uglova trougla je 180 0.
Razmotrimo proizvoljan trougao ABC i dokažimo da je A+B+C=180 0 .
Povučemo pravu liniju a kroz vrh B, paralelnu sa stranicom AC. Uglovi 1 i 4 su poprečno ležeći uglovi na preseku paralelnih pravih a i AC sekantom AB, a uglovi 3 i 5 su poprečno ležeći uglovi na preseku istih paralelnih pravih sekantom BC. Stoga (1)4=1; 5=3.
Očigledno je da je zbir uglova 4, 2 i 5 jednak pravom uglu sa vrhom B, tj. 4+2+5=1800 . Dakle, uzimajući u obzir jednakosti (1), dobijamo: 1+2+3=180 0 ili A+B+C=180 0 .
7. Znak jednakosti pravokutnih trougla.
