มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7;
มุมนอนขวางภายใน: 3 และ 5, 4 และ 6;
มุมขวางภายนอก: 1 และ 7, 2 และ 8;
มุมด้านเดียวภายใน: 3 และ 6, 4 และ 5;
มุมด้านเดียวภายนอก: 1 และ 8, 2 และ 7
ดังนั้น ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 8 = ∠ 6 แต่จากการพิสูจน์แล้ว ∠ 4 = ∠ 6
ดังนั้น ∠ 2 = ∠ 8
3. มุมต่างๆ 2 และ 6 เหมือนกัน เนื่องจาก ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 4 = ∠ 6 เราต้องแน่ใจว่ามุมอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องเท่ากัน
4. ซำ มุมด้านเดียวภายใน 3 และ 6 จะเป็น 2d เพราะผลรวม มุมที่อยู่ติดกัน 3 และ 4 เท่ากับ 2d = 180 0 และ ∠ 4 สามารถแทนที่ด้วย ∠ 6 ที่เหมือนกัน ตรวจสอบให้แน่ใจด้วยว่า ผลรวมของมุม 4 และ 5 เท่ากับ 2d
5. ซำ มุมด้านเดียวภายนอกจะเป็น 2d เพราะมุมเหล่านี้เท่ากันตามลำดับ มุมด้านเดียวภายในชอบมุม แนวตั้ง.
จากเหตุผลที่พิสูจน์ข้างต้น เราได้รับ ทฤษฎีบทผกผัน
เมื่อที่จุดตัดของเส้นสองเส้นของเส้นที่สามโดยพลการ เราได้รับว่า:
1. มุมนอนไขว้ภายในเหมือนกัน
หรือ 2.มุมนอนกากบาทภายนอกเหมือนกัน
หรือ 3.มุมที่สอดคล้องกันจะเหมือนกัน
หรือ 4.ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 2d = 180 0 ;
หรือ 5.ผลรวมของด้านเดียวด้านนอกคือ 2d = 180 0 ,
แล้วสองบรรทัดแรกจะขนานกัน
1. สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกัน
ถ้าที่จุดตัดของเส้นสองเส้นกับเส้นที่สาม มุมภายในที่วางขวางเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน
ให้เส้น AB และ CD ตัดกันโดยเส้น EF และ ∠1 = ∠2 ลองหาจุด O - ตรงกลางของส่วน KL ของซีแคนต์ EF (รูปที่)
ให้เราวาง OM ตั้งฉากจากจุด O ไปที่เส้น AB และดำเนินต่อไปจนกว่าจะตัดกับเส้น CD, AB ⊥ MN ให้เราพิสูจน์ว่า CD ⊥ MN เช่นกัน
ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมสองรูป: MOE และ NOK สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน อันที่จริง: ∠1 = ∠2 โดยสมมติฐานของทฤษฎีบท ตกลง = OL - โดยการก่อสร้าง
∠MOL = ∠NOK เป็นมุมแนวตั้ง ดังนั้น ด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ ดังนั้น ΔMOL = ΔNOK และด้วยเหตุนี้ ∠LMO = ∠KNO
แต่ ∠LMO เป็นแบบตรง ดังนั้น ∠KNO ก็ตรงเช่นกัน ดังนั้น เส้น AB และ CD จึงตั้งฉากกับเส้น MN เดียวกัน ดังนั้นจึงขนานกัน ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์
บันทึก. จุดตัดของเส้น MO และ CD สามารถสร้างได้โดยการหมุน MOL สามเหลี่ยมรอบจุด O 180°
2. สัญญาณที่สองของการขนาน
ลองดูว่าเส้น AB และ CD ขนานกันหรือไม่ ถ้าที่จุดตัดของเส้นที่สาม EF มุมที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากัน
ให้มุมที่สอดคล้องกันบางมุมเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ∠ 3 = ∠2 (รูปที่);
∠3 = ∠1 เป็นมุมแนวตั้ง ดังนั้น ∠2 จะเท่ากับ ∠1 แต่มุม 2 กับ 1 เป็นมุมตัดขวางภายใน และเรารู้อยู่แล้วว่าหากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นคูณสาม มุมนอนขวางตามขวางภายในเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน ดังนั้น AB || ซีดี.
ถ้าที่จุดตัดของเส้นสองเส้นในเส้นที่สามมีมุมเท่ากัน เส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน
การสร้างเส้นคู่ขนานด้วยความช่วยเหลือของไม้บรรทัดและรูปสามเหลี่ยมรูปวาดขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ นี้จะทำดังนี้
ให้เราแนบสามเหลี่ยมกับไม้บรรทัดดังแสดงในรูปที่ เราจะย้ายรูปสามเหลี่ยมเพื่อให้ด้านหนึ่งเลื่อนไปตามไม้บรรทัด และวาดเส้นตรงหลายเส้นตามด้านอื่น ๆ ของรูปสามเหลี่ยม เส้นเหล่านี้จะขนานกัน
3. สัญญาณที่สามของการขนาน
แจ้งให้เราทราบว่าที่จุดตัดของสองเส้น AB และ CD ที่เส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในใดๆ เท่ากับ 2 d(หรือ 180 องศา) ในกรณีนี้เส้น AB และ CD จะขนานกันหรือไม่ (รูปที่)
ให้ ∠1 และ ∠2 เป็นมุมภายในด้านเดียวและรวมกันได้ 2 d.
แต่ ∠3 + ∠2 = 2 dเป็นมุมที่อยู่ติดกัน ดังนั้น ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2
ดังนั้น ∠1 = ∠3 และมุมภายในเหล่านี้เป็นแนวขวาง ดังนั้น AB || ซีดี.
ถ้าตรงจุดตัดของเส้นสองเส้นคูณสาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 2 d (หรือ 180°) แล้วทั้งสองเส้นขนานกัน
สัญญาณของเส้นคู่ขนาน:
1. ถ้าที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นคูณหนึ่งในสาม มุมนอนขวางภายในเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน2. ถ้าตรงจุดตัดของเส้นสองเส้นที่สาม มุมที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน เส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน
3. ถ้าตรงจุดตัดของเส้นสองเส้นในเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180 ° แสดงว่าเส้นสองเส้นนี้ขนานกัน
4. หากเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามแสดงว่าขนานกัน
5. ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม แสดงว่าเส้นเหล่านั้นขนานกัน
สัจพจน์ของยุคลิดเรื่องความเท่าเทียม
งาน. ผ่านจุด M นอกเส้น AB ให้ลากเส้นขนานกับเส้น AB
การใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเกี่ยวกับสัญญาณของการขนานกันของเส้นตรง ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้หลายวิธี
วิธีการแก้.ครั้งที่ 1 (รูปที่ 199)
เราวาด MN⊥AB และผ่านจุด M เราวาด CD⊥MN
เราได้ CD⊥MN และ AB⊥MN
ตามทฤษฎีบท ("ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นเดียวกันแสดงว่าขนานกัน") เราสรุปได้ว่า СD || เอบี.
ครั้งที่สอง p o s o b (รูปที่ 200)
เราวาด MK ตัดกัน AB ที่มุมใดก็ได้ α และผ่านจุด M เราวาดเส้นตรง EF สร้างมุม EMK ด้วยเส้นตรง MK เท่ากับมุม α ตามทฤษฎีบท () เราสรุปได้ว่า EF || เอบี.
เมื่อแก้ปัญหานี้แล้ว เราสามารถพิจารณาได้ว่ามันพิสูจน์แล้วว่าผ่านจุด M ใดๆ ซึ่งอยู่นอกเส้น AB ก็สามารถวาดเส้นขนานกับมันได้ เกิดคำถามขึ้นว่า เส้นหนึ่งขนานกับเส้นที่กำหนดและผ่านจุดที่กำหนดจะมีอยู่ได้กี่เส้น?
แนวปฏิบัติในการก่อสร้างทำให้เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามีเพียงเส้นเดียว เนื่องจากการวาดที่ดำเนินการอย่างระมัดระวัง เส้นที่วาดในรูปแบบต่างๆ ผ่านจุดเดียวกันขนานกับเส้นผสานเดียวกัน
ในทางทฤษฎี คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากสัจพจน์ที่เรียกว่าความคล้ายคลึงกันของยุคลิด เป็นสูตรดังนี้
ผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด สามารถลากเส้นเดียวขนานกับเส้นนี้
ในรูปวาด 201 เส้นตรง SK จะถูกลากผ่านจุด O ขนานกับเส้นตรง AB
เส้นอื่นใดที่ผ่านจุด O จะไม่ขนานกับเส้น AB อีกต่อไป แต่จะตัดกัน
สัจพจน์ที่ Euclid นำมาใช้ใน Elements ของเขาซึ่งระบุว่าบนระนาบผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนดสามารถลากเส้นเดียวขนานกับเส้นนี้ได้เพียงเส้นเดียวเรียกว่า สัจพจน์ของยุคลิดเรื่องความเท่าเทียม.
เป็นเวลากว่าสองพันปีหลังจากยุคลิด นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ข้อเสนอทางคณิตศาสตร์นี้ แต่ความพยายามของพวกเขาไม่ประสบความสำเร็จเสมอไป เฉพาะในปี พ.ศ. 2369 นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยคาซาน นิโคไล อิวานโนวิช โลบาชอฟสกี ได้พิสูจน์ว่าการใช้สัจพจน์ของยุคลิดทั้งหมด ไม่สามารถพิสูจน์ข้อเสนอทางคณิตศาสตร์นี้ได้ ว่าควรถือเป็นสัจธรรมจริงๆ N. I. Lobachevsky สร้างรูปทรงเรขาคณิตใหม่ซึ่งตรงกันข้ามกับเรขาคณิตของ Euclid เรียกว่าเรขาคณิตของ Lobachevsky
บทนี้ศึกษาเกี่ยวกับเส้นคู่ขนาน นี่คือชื่อที่กำหนดให้กับเส้นตรงสองเส้นในระนาบที่ไม่ตัดกัน เราเห็นส่วนของเส้นขนานในสภาพแวดล้อม - นี่คือสองขอบของตารางสี่เหลี่ยม สองขอบของปกหนังสือ สองแท่งรถเข็น ฯลฯ เส้นขนานมีบทบาทสำคัญมากในเรขาคณิต ในบทนี้ คุณจะได้เรียนรู้ว่าสัจพจน์ของเรขาคณิตคืออะไร และสัจพจน์ของเส้นคู่ขนานประกอบด้วยอะไร - หนึ่งในสัจพจน์ที่มีชื่อเสียงที่สุดของเรขาคณิต
ในหัวข้อที่ 1 เราสังเกตว่าเส้นสองเส้นมีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือ ตัดกัน หรือไม่มีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือ ไม่ตัดกัน
คำนิยาม
ความขนานของเส้น a และ b แสดงดังนี้: a || ข.
รูปที่ 98 แสดงเส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น c ในส่วนที่ 12 เรากำหนดว่าเส้น a และ b ดังกล่าวไม่ตัดกัน นั่นคือ มันขนานกัน
ข้าว. 98
นอกจากเส้นขนานแล้ว มักจะพิจารณาส่วนที่ขนานกัน ทั้งสองส่วนเรียกว่า ขนานถ้าอยู่บนเส้นขนาน ในรูปที่ 99 และเซ็กเมนต์ AB และ CD ขนานกัน (AB || CD) และเซ็กเมนต์ MN และ CD ไม่ขนานกัน ในทำนองเดียวกันความขนานของส่วนและเส้นตรง (รูปที่ 99, b), รังสีและเส้นตรง, ส่วนและรังสี, รังสีสองเส้น (รูปที่ 99, c) ถูกกำหนด
ข้าว. 99สัญญาณความขนานของสองเส้น
โดยตรงกับเรียกว่า เซแคนท์สำหรับเส้น a และ b ถ้ามันตัดกันเป็นสองจุด (รูปที่ 100) ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัด c เกิดเป็นมุมแปดมุม ซึ่งแสดงด้วยตัวเลขในรูปที่ 100 บางคู่ของมุมเหล่านี้มีชื่อพิเศษ:
มุมกากบาท: 3 และ 5, 4 และ 6;
มุมด้านเดียว: 4 และ 5, 3 และ 6;
มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7
ข้าว. 100
พิจารณาสามสัญญาณของการขนานกันของเส้นสองเส้นที่เกี่ยวข้องกับมุมคู่เหล่านี้
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b ด้วยเส้นตัด AB มุมนอนจะเท่ากัน: ∠1 = ∠2 (รูปที่ 101, a)
ให้เราพิสูจน์ว่า || ข. หากมุม 1 และ 2 ถูกต้อง (รูปที่ 101, b) เส้น a และ b จะตั้งฉากกับเส้น AB และดังนั้นจึงขนานกัน
ข้าว. 101
พิจารณากรณีที่มุม 1 และ 2 ไม่ถูกต้อง
จากกึ่งกลาง O ของส่วน AB ให้วาด OH ตั้งฉากกับเส้นตรง a (รูปที่ 101, c) บนเส้น b จากจุด B เราแยกส่วน VH 1 ไว้เท่ากับส่วน AH ดังแสดงในรูปที่ 101, c และวาดส่วน OH 1 สามเหลี่ยม ONA และ OH 1 V เท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกมัน (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2) ดังนั้น ∠3 = ∠4 และ ∠5 = ∠6 จากความเท่าเทียมกัน ∠3 = ∠4 ตามด้วยจุด H 1 อยู่บนความต่อเนื่องของรังสี OH นั่นคือ จุด H, O และ H 1 อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และจากความเท่าเทียมกัน ∠5 = ∠6 มัน ตามด้วยมุม 6 เป็นเส้นตรง (เนื่องจากมุม 5 เป็นมุมฉาก) ดังนั้นเส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น HH 1 จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัดที่มีมุมที่สอดคล้องกันเช่น ∠1 = ∠2 (รูปที่ 102)
ข้าว. 102
เนื่องจากมุม 2 และ 3 เป็นแนวตั้ง ดังนั้น ∠2 = ∠3 ความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้บอกเป็นนัยว่า ∠1 = ∠3 แต่มุม 1 และ 3 เป็นแนวขวาง ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้ ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัดที่มีผลรวมของมุมด้านเดียวเป็น 180° ตัวอย่างเช่น ∠1 + ∠4 = 180° (ดูรูปที่ 102)
เนื่องจากมุม 3 และ 4 อยู่ติดกัน ดังนั้น ∠3 + ∠4 = 180° จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้จะตามมาว่ามุมขวาง 1 และ 3 เท่ากัน ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
วิธีปฏิบัติในการวาดเส้นคู่ขนาน
เครื่องหมายของเส้นคู่ขนานรองรับวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้เครื่องมือต่างๆ ในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้สี่เหลี่ยมจตุรัสและไม้บรรทัด ในการสร้างเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M และขนานกับเส้นที่กำหนด a เราใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดกับเส้นตรง a และไม้บรรทัดตามที่แสดงในรูปที่ 103 จากนั้นเลื่อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปตามไม้บรรทัด เรา จะทำให้แน่ใจว่าจุด M อยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และลากเส้น b เส้น a และ b ขนานกัน เนื่องจากมุมที่สอดคล้องกัน ซึ่งแสดงในรูปที่ 103 ด้วยตัวอักษร α และ β เท่ากัน
ข้าว. 103รูปที่ 104 แสดงวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้ T-square วิธีนี้ใช้ในการฝึกวาด
ข้าว. 104ใช้วิธีที่คล้ายกันเมื่อทำงานช่างไม้ซึ่งใช้มุมเอียงเพื่อทำเครื่องหมายเส้นคู่ขนาน (แผ่นไม้สองแผ่นยึดด้วยบานพับ, รูปที่ 105)
ข้าว. 105
งาน
186. ในรูปที่ 106 เส้น a และ b ตัดกันด้วยเส้น c พิสูจน์ว่า || ข ถ้า:
ก) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
ข) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° และมุม 7 ใหญ่กว่ามุม 3 ถึงสามเท่า
ข้าว. 106
187. ตามรูปที่ 107 พิสูจน์ว่า AB || พ.ศ.
ข้าว. 107
188. ส่วน AB และ CD ตัดกันตรงกลาง พิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน
189. ใช้ข้อมูลในรูปที่ 108 พิสูจน์ว่า BC || โฆษณา
ข้าว. 108
190. ในรูปที่ 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35° พิสูจน์ว่า DE || เช่น.
ข้าว. 109
191. ส่วน VK เป็นตัวแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC เส้นตรงลากผ่านจุด K ตัดกับด้าน BC ที่จุด M ดังนั้น BM = MK พิสูจน์ว่าเส้น KM และ AB ขนานกัน
192. ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม A คือ 40° และมุม ALL ประชิดกับมุม ACB คือ 80° พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุม ALL ขนานกับเส้น AB
193. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ∠A = 40°, ∠B = 70° เส้น BD ถูกลากผ่านจุดยอด B เพื่อให้รังสี BC เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ABD พิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน
194. วาดรูปสามเหลี่ยม ผ่านจุดยอดแต่ละอันของสามเหลี่ยมนี้ โดยใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดและไม้บรรทัด วาดเส้นตรงขนานกับด้านตรงข้าม
195. วาดสามเหลี่ยม ABC และทำเครื่องหมายจุด D ที่ด้าน AC ผ่านจุด D โดยใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดและไม้บรรทัด วาดเส้นตรงขนานกับอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม
บทนี้ศึกษาเกี่ยวกับเส้นคู่ขนาน นี่คือชื่อที่กำหนดให้กับเส้นตรงสองเส้นในระนาบที่ไม่ตัดกัน เราเห็นส่วนของเส้นขนานในสภาพแวดล้อม - นี่คือสองขอบของตารางสี่เหลี่ยม สองขอบของปกหนังสือ สองแท่งรถเข็น ฯลฯ เส้นขนานมีบทบาทสำคัญมากในเรขาคณิต ในบทนี้ คุณจะได้เรียนรู้ว่าสัจพจน์ของเรขาคณิตคืออะไร และสัจพจน์ของเส้นคู่ขนานประกอบด้วยอะไร - หนึ่งในสัจพจน์ที่มีชื่อเสียงที่สุดของเรขาคณิต
ในหัวข้อที่ 1 เราสังเกตว่าเส้นสองเส้นมีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือ ตัดกัน หรือไม่มีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือ ไม่ตัดกัน
คำนิยาม
ความขนานของเส้น a และ b แสดงดังนี้: a || ข.
รูปที่ 98 แสดงเส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น c ในส่วนที่ 12 เรากำหนดว่าเส้น a และ b ดังกล่าวไม่ตัดกัน นั่นคือ มันขนานกัน
ข้าว. 98
นอกจากเส้นขนานแล้ว มักจะพิจารณาส่วนที่ขนานกัน ทั้งสองส่วนเรียกว่า ขนานถ้าอยู่บนเส้นขนาน ในรูปที่ 99 และเซ็กเมนต์ AB และ CD ขนานกัน (AB || CD) และเซ็กเมนต์ MN และ CD ไม่ขนานกัน ในทำนองเดียวกันความขนานของส่วนและเส้นตรง (รูปที่ 99, b), รังสีและเส้นตรง, ส่วนและรังสี, รังสีสองเส้น (รูปที่ 99, c) ถูกกำหนด
ข้าว. 99สัญญาณความขนานของสองเส้น
โดยตรงกับเรียกว่า เซแคนท์สำหรับเส้น a และ b ถ้ามันตัดกันเป็นสองจุด (รูปที่ 100) ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัด c เกิดเป็นมุมแปดมุม ซึ่งแสดงด้วยตัวเลขในรูปที่ 100 บางคู่ของมุมเหล่านี้มีชื่อพิเศษ:
มุมกากบาท: 3 และ 5, 4 และ 6;
มุมด้านเดียว: 4 และ 5, 3 และ 6;
มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7
ข้าว. 100
พิจารณาสามสัญญาณของการขนานกันของเส้นสองเส้นที่เกี่ยวข้องกับมุมคู่เหล่านี้
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b ด้วยเส้นตัด AB มุมนอนจะเท่ากัน: ∠1 = ∠2 (รูปที่ 101, a)
ให้เราพิสูจน์ว่า || ข. หากมุม 1 และ 2 ถูกต้อง (รูปที่ 101, b) เส้น a และ b จะตั้งฉากกับเส้น AB และดังนั้นจึงขนานกัน
ข้าว. 101
พิจารณากรณีที่มุม 1 และ 2 ไม่ถูกต้อง
จากกึ่งกลาง O ของส่วน AB ให้วาด OH ตั้งฉากกับเส้นตรง a (รูปที่ 101, c) บนเส้น b จากจุด B เราแยกส่วน VH 1 ไว้เท่ากับส่วน AH ดังแสดงในรูปที่ 101, c และวาดส่วน OH 1 สามเหลี่ยม ONA และ OH 1 V เท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกมัน (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2) ดังนั้น ∠3 = ∠4 และ ∠5 = ∠6 จากความเท่าเทียมกัน ∠3 = ∠4 ตามด้วยจุด H 1 อยู่บนความต่อเนื่องของรังสี OH นั่นคือ จุด H, O และ H 1 อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และจากความเท่าเทียมกัน ∠5 = ∠6 มัน ตามด้วยมุม 6 เป็นเส้นตรง (เนื่องจากมุม 5 เป็นมุมฉาก) ดังนั้นเส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น HH 1 จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัดที่มีมุมที่สอดคล้องกันเช่น ∠1 = ∠2 (รูปที่ 102)
ข้าว. 102
เนื่องจากมุม 2 และ 3 เป็นแนวตั้ง ดังนั้น ∠2 = ∠3 ความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้บอกเป็นนัยว่า ∠1 = ∠3 แต่มุม 1 และ 3 เป็นแนวขวาง ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้ ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัดที่มีผลรวมของมุมด้านเดียวเป็น 180° ตัวอย่างเช่น ∠1 + ∠4 = 180° (ดูรูปที่ 102)
เนื่องจากมุม 3 และ 4 อยู่ติดกัน ดังนั้น ∠3 + ∠4 = 180° จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้จะตามมาว่ามุมขวาง 1 และ 3 เท่ากัน ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
วิธีปฏิบัติในการวาดเส้นคู่ขนาน
เครื่องหมายของเส้นคู่ขนานรองรับวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้เครื่องมือต่างๆ ในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้สี่เหลี่ยมจตุรัสและไม้บรรทัด ในการสร้างเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M และขนานกับเส้นที่กำหนด a เราใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดกับเส้นตรง a และไม้บรรทัดตามที่แสดงในรูปที่ 103 จากนั้นเลื่อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปตามไม้บรรทัด เรา จะทำให้แน่ใจว่าจุด M อยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และลากเส้น b เส้น a และ b ขนานกัน เนื่องจากมุมที่สอดคล้องกัน ซึ่งแสดงในรูปที่ 103 ด้วยตัวอักษร α และ β เท่ากัน
ข้าว. 103รูปที่ 104 แสดงวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้ T-square วิธีนี้ใช้ในการฝึกวาด
ข้าว. 104ใช้วิธีที่คล้ายกันเมื่อทำงานช่างไม้ซึ่งใช้มุมเอียงเพื่อทำเครื่องหมายเส้นคู่ขนาน (แผ่นไม้สองแผ่นยึดด้วยบานพับ, รูปที่ 105)
ข้าว. 105
งาน
186. ในรูปที่ 106 เส้น a และ b ตัดกันด้วยเส้น c พิสูจน์ว่า || ข ถ้า:
ก) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
ข) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° และมุม 7 ใหญ่กว่ามุม 3 ถึงสามเท่า
ข้าว. 106
187. ตามรูปที่ 107 พิสูจน์ว่า AB || พ.ศ.
ข้าว. 107
188. ส่วน AB และ CD ตัดกันตรงกลาง พิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน
189. ใช้ข้อมูลในรูปที่ 108 พิสูจน์ว่า BC || โฆษณา
ข้าว. 108
190. ในรูปที่ 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35° พิสูจน์ว่า DE || เช่น.
ข้าว. 109
191. ส่วน VK เป็นตัวแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC เส้นตรงลากผ่านจุด K ตัดกับด้าน BC ที่จุด M ดังนั้น BM = MK พิสูจน์ว่าเส้น KM และ AB ขนานกัน
192. ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม A คือ 40° และมุม ALL ประชิดกับมุม ACB คือ 80° พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุม ALL ขนานกับเส้น AB
193. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ∠A = 40°, ∠B = 70° เส้น BD ถูกลากผ่านจุดยอด B เพื่อให้รังสี BC เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ABD พิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน
194. วาดรูปสามเหลี่ยม ผ่านจุดยอดแต่ละอันของสามเหลี่ยมนี้ โดยใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดและไม้บรรทัด วาดเส้นตรงขนานกับด้านตรงข้าม
195. วาดสามเหลี่ยม ABC และทำเครื่องหมายจุด D ที่ด้าน AC ผ่านจุด D โดยใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดและไม้บรรทัด วาดเส้นตรงขนานกับอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม
มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้งถ้าด้านหนึ่งของมุมหนึ่งเป็นส่วนต่อขยายของอีกด้านหนึ่ง
รูปแสดงมุม 1 และ 3 , เช่นเดียวกับมุม 2 และ 4 - แนวตั้ง. มุม 2 อยู่ประชิดทั้งสองมุม 1 และด้วยมุม 3. ตามคุณสมบัติของมุมประชิด 1 +2 =180 0 และ 3 +2 =1800. จากที่นี่เราได้รับ: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. ดังนั้น การวัดองศาของมุม 1 และ 3 มีค่าเท่ากัน ตามมาว่ามุมนั้นเท่ากัน ดังนั้นมุมแนวตั้งจึงเท่ากัน
2. สัญญาณความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
หากด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันคือสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน
หากด้านหนึ่งและมุมประชิดสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับด้านหนึ่งและอีกสองมุมที่อยู่ติดกันของอีกรูปหนึ่งสามเหลี่ยมตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ
3. หากด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน
1 สัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม:
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 ซึ่ง AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, มุม A และ A 1 เท่ากัน ให้เราพิสูจน์ว่า ABC=A 1 B 1 C 1 .
เนื่องจาก (y) A \u003d (y) A 1 จากนั้นสามเหลี่ยม ABC สามารถซ้อนทับบนสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A อยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด A1 และด้าน AB และ AC ซ้อนทับกัน ตามลำดับ บนรังสี A 1 B 1 และ A 1 C 1 . ตั้งแต่ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 จากนั้นด้าน AB จะถูกรวมเข้ากับด้าน A 1 B 1 และด้าน AC - กับด้าน A 1 C 1; โดยเฉพาะจุด B และ B 1 , C และ C 1 จะตรงกัน ดังนั้นด้าน BC และ B 1 C 1 จะอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จึงเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน CTD
3. ทฤษฎีบทบนเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและความสูง
ให้เราหันไปหารูปที่ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐาน BC, AD เป็นตัวแบ่งครึ่ง
จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABD และ ACD (ตามเกณฑ์ที่ 2 ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม: AD เป็นเรื่องปกติ; มุม 1 และ 2 เท่ากันเพราะ AD-bisector; AB=AC เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) เป็นไปตามนั้น BD = DC และ 3 = 4 ความเท่าเทียมกัน BD = DC หมายความว่าจุด D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC ดังนั้น AD คือค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC เนื่องจากมุม 3 และ 4 อยู่ติดกันและเท่ากัน พวกมันจึงเป็นมุมฉาก ดังนั้นเซ็กเมนต์ AO จึงเป็นความสูงของสามเหลี่ยม ABC ด้วย สธ.
4. ถ้าเส้นขนานกัน -> มุม…. (ไม่จำเป็น)
5. ถ้ามุม ... ..-> เส้นขนานกัน (ถ้ามี)
ถ้าที่จุดตัดของเส้นตัดสองเส้นที่มีมุมเท่ากัน เส้นนั้นก็จะขนานกัน
ให้ที่จุดตัดของเส้น a และ b ของเซแคนต์ที่มีมุมตรงกัน เช่น 1=2
เนื่องจากมุม 2 และ 3 เป็นแนวตั้ง ดังนั้น 2=3 จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้จะเป็นไปตามที่ 1=3 แต่มุม 1 และ 3 เป็นแนวขวาง ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน สธ.
6. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 0.
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC โดยพลการ และพิสูจน์ว่า A+B+C=180 0 .
ให้เราวาดเส้นตรง a ผ่านจุดยอด B ขนานกับด้าน AC มุม 1 และ 4 เป็นมุมนอนขวางที่จุดตัดของเส้นคู่ขนาน a และ AC โดยซีแคนต์ AB และมุม 3 และ 5 เป็นมุมนอนตามขวางที่จุดตัดของเส้นคู่ขนานเดียวกันโดยซีแคนต์ BC ดังนั้น (1)4=1; 5=3.
เห็นได้ชัดว่าผลรวมของมุม 4, 2 และ 5 เท่ากับมุมตรงที่มีจุดยอด B นั่นคือ 4+2+5=1800 . ดังนั้นเมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (1) เราได้รับ: 1+2+3=180 0 หรือ A+B+C=180 0
7. สัญลักษณ์ความเสมอภาคของสามเหลี่ยมมุมฉาก
