«Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

Целое выражение - это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое-либо число, отличное от нуля.

Понятие дробного рационального выражения

Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит также деление на выражения с буквенными переменными.

Рациональные выражения - это все целые и дробные выражения. Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая и правая части будут являться целыми выражениями, то такое рациональное уравнение называется целым.

Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

Примеры дробных рациональных выражений

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Схема решения дробного рационального уравнения

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Так как мы решаем дробные рациональные уравнения, то в знаменателях дробей будут переменные. Значит, будут они и в общем знаменателе. А во втором пункте алгоритма мы умножаем на общий знаменатель, то могут появится посторонние корни. При которых общий знаменатель будет равен нулю, а значит и умножение на него будет бессмысленным. Поэтому в конце обязательно делать проверку полученных корней.

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Будем придерживаться общей схемы: найдем сначала общий знаменатель всех дробей. Получим x*(x-5).

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Упростим полученное уравнение. Получим:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5.

Теперь производим проверку полученных решений:

Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель. При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 будет являться корнем исходного дробного рационального уравнения.

При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.

Приглашаем тебя на урок о том, решать уравнения с дробями.Скорее всего, тебе уже приходилось сталкиваться с такими уравнениями в прошлом, так что на этом уроке нам предстоит повторить и обобщить те сведения, которые тебе известны.

Больше уроков на сайте

Дробно-рациональным называется уравнение, в котором есть рациональные дроби, то есть переменная в знаменателе. Скорее всего, тебе уже приходилось сталкиваться с такими уравнениями в прошлом, так что на этом уроке нам предстоит повторить и обобщить те сведения, которые тебе известны.

Сначала я предлагаю обратиться к предыдущему уроку данной темы – к уроку «Решение квадратных уравнений». На том уроке был рассмотрен пример решения дробно-рационального уравнения. Рассмотрим его

Решение этого уравнения выполнено в несколько этапов:

• Преобразование уравнения, содержащего рациональные дроби.
• Переход к целому уравнению и упрощение его;
• Решение квадратного уравнения.

Через первые 2 этапа необходимо пройти при решении любого дробно-рационального уравнения. Третий этап – необязателен, так как уравнение, полученное в результате упрощений, может быть не квадратным, а линейным; решать линейное уравнение – намного проще. Есть еще один важный этап при решении дробно-рационального уравнения. Он будет виден при решении следующего уравнения.

что следует сделать в первую очередь? – Конечно же, привести дроби к общему знаменателю. И очень важным является найти именно наименьший общий знаменатель, иначе, далее, в процессе решения, уравнение будет усложнено. Тут заметим, что знаменатель последней дроби можно разложить на множители у и у+2 . Вот именно это произведение и будет общим знаменателем в данном уравнении. Теперь нужно определить дополнительные множители для каждой из дробей. Вернее, для последней дроби такой множитель не понадобится, так как ее знаменатель равен общему. Вот теперь, когда все дроби имеют одинаковые знаменатели, можно перейти к целому уравнению, составленному из одних числителей. Но необходимо cделать одно замечание, о том, что найденное значение неизвестной не может обращать в ноль ни один из знаменателей . Это – ОДЗ: у≠0, у≠2 . На этом окончен первый из описанных ранее этапов решения и переходим ко второму – упрощаем полученное целое уравнение. Для этого – раскрываем скобки, переносим все слагаемые в одну часть уравнения и приводим подобные. Выполни это самостоятельно и проверь – верны ли мои вычисления, в которых получено уравнение 3у 2 – 12у = 0. Это уравнение – квадратное, оно записано в стандартном виде, и один из его коэффициентов равен нулю.

Цели урока:

Обучающая:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;
• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
• развитие критического мышления;
• развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

(х 2 -2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5)
(х 2 -2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0			х 2 -2х-5=х+5
х(х-5)(х 2 -2х-5-(х+5))=0			х 2 -2х-5-х-5=0
х(х-5)(х 2 -3х-10)=0
х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0
х 1 =0 х 2 =5 D=49
х 3 =5 х 4 =-2			х 3 =5 х 4 =-2
Ответ : 0;5;-2.			Ответ : 5;-2.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

• Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .)
• Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
• Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

х 2 -3х-10=0 , D=49 , х 1 =5 , х 2 =-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить уравнение.
5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
6. Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

1. Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
3. Решить в тетрадях № 600(а,г,д); №601(г,з).
4. Попробовать решить №696(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

• «5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания.
• «4» - 75%-89%
• «3» - 50%-74%
• «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
• Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

• 1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
• 2 – интересно, но не понятно;
• 3 – не интересно, но понятно;
• 4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Т. Косякова,
школа N№ 80, г. Краснодар

Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры

Урок 4

Тема урока:

Цель урока: формировать умение решать дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры.

Тип урока: введение нового материала.

1. (Устно.) Решите уравнения:

Пример 1 . Решите уравнение

Решение.

Найдем недопустимые значения a :

Ответ. Если если a = – 19 , то корней нет.

Пример 2 . Решите уравнение

Решение.

Найдем недопустимые значения параметра a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a , a = 5.

Ответ. Если a = 5 a № 5 , то x=10–a .

Пример 3 . При каких значениях параметра b уравнение имеет:

а) два корня; б) единственный корень?

Решение.

1) Найдем недопустимые значения параметра b :

x = b , b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b = 0 или b = 2;
x = 2, 4(b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b = 2 или b = – 2.

2) Решим уравнение x 2 (b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4b 2 .

а)

Исключая недопустимые значения параметра b , получаем, что уравнение имеет два корня, если b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

б) 4b 2 = 0, b = 0, но это недопустимое значение параметра b ; если b 2 –1=0 , т. е. b =1 или.

Ответ: а) если b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два корня; б) если b =1 или b=–1 , то единственный корень.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Решите уравнения:

Вариант 2

Решите уравнения:

Ответы

В-1 . а) Если a =3 , то корней нет; если б) если если a № 2 , то корней нет.

В-2. Если a =2 , то корней нет; если a =0 , то корней нет; если
б) если a =– 1 , то уравнение теряет смысл; если то корней нет;
если

Задание на дом.

Решите уравнения:

Ответы: а) Если a № –2 , то x=a ; если a =–2 , то решений нет; б) если a № –2 , то x=2 ; если a =–2 , то решений нет; в) если a =–2 , то x – любое число, кроме 3 ; если a № –2 , то x=2 ; г) если a =–8 , то корней нет; если a =2 , то корней нет; если

Урок 5

Тема урока: «Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры».

Цели урока:

обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.

Тип урока: систематизации и обобщения.

Проверка домашнего задания.

Пример 1 . Решите уравнение

а) относительно x; б) относительно y.

Решение.

а) Найдем недопустимые значения y : y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y ,

y=0 – недопустимое значение параметра y .

Если y № 0 , то x=y–2 ; если y=0 , то уравнение теряет смысл.

б) Найдем недопустимые значения параметра x : y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0 – недопустимое значение параметра x ; y(2+x–y)=0, y=0 или y=2+x;

y=0 не удовлетворяет условию y(y–x) № 0 .

Ответ: а) если y=0 , то уравнение теряет смысл; если y № 0 , то x=y–2 ; б) если x=0 x № 0 , то y=2+x .

Пример 2 . При каких целых значениях параметра a корни уравнения принадлежат промежутку

D = (3a + 2) 2 – 4a (a + 1)·2 = 9a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a ,

D = (a + 2) 2 .

Если a № 0 или a № – 1 , то

Ответ: 5 .

Пример 3 . Найдите относительно x целые решения уравнения

Ответ. Если y=0 , то уравнение не имеет смысла; если y=–1 , то x – любое целое число, кроме нуля; если y№ 0, y№ – 1 , то решений нет.

Пример 4. Решите уравнение с параметрами a и b .

Если a № – b , то

Ответ. Если a= 0 или b= 0 , то уравнение теряет смысл; если a № 0, b № 0, a=–b , то x – любое число, кроме нуля; если a № 0, b № 0, a № –b, то x=–a, x=–b .

Пример 5 . Докажите, что при любом значении параметра n, отличном от нуля, уравнение имеет единственный корень, равный – n .

Решение.

т. е. x=–n , что и требовалось доказать.

Задание на дом.

1. Найдите целые решения уравнения

2. При каких значениях параметра c уравнение имеет:
а) два корня; б) единственный корень?

3. Найдите все целые корни уравнения если a О N .

4. Решите уравнение 3xy – 5x + 5y = 7: а) относительно y ; б) относительно x .

1. Уравнению удовлетворяют любые целые равные значения x и y, отличные от нуля.
2. а) При
б) при или
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Если то корней нет; если
б) если то корней нет; если

Контрольная работа

Вариант 1

1. Определите тип уравнения 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 при: а) c=–3 ; б) c=2 ; в) c=4 .

2. Решите уравнения: а) x 2 –bx=0 ; б) cx 2 –6x+1=0 ; в)

3. Решите уравнение 3x–xy–2y=1:

а) относительно x ;
б) относительно y .

nx 2 – 26x + n = 0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.

5. При каких значениях b уравнение имеет:

а) два корня;
б) единственный корень?

Вариант 2

1. Определите тип уравнения 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 при: а) c=–4 ; б) c=7 ; в) c=1 .

2. Решите уравнения: а) y 2 +cy=0 ; б) ny 2 –8y+2=0 ; в)

3. Решите уравнение 6x–xy+2y=5:

а) относительно x ;
б) относительно y .

4. Найдите целые корни уравнения nx 2 –22x+2n=0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.

5. При каких значениях параметра a уравнение имеет:

а) два корня;
б) единственный корень?

Ответы

В-1. 1. а) Линейное уравнение;
б) неполное квадратное уравнение; в) квадратное уравнение.
2. а) Если b=0 , то x=0 ; если b№ 0 , то x=0, x=b ;
б) если cО (9;+Ґ ) , то корней нет;
в) если a =–4 , то уравнение теряет смысл; если a № –4 , то x=–a .
3. а) Если y=3 , то корней нет; если);
б) a =–3, a =1.

Дополнительные задания

Решите уравнения:

Литература

1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала. – Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами. – Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2. – М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тынякин С.А. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. – Волгоград, 1991.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.