С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.
Деление обыкновенных дробей
Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.
Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби a b на c d , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель c d , это даст в итоге делимое a b . Получим число и запишем его a b · d c , где d c является обратным c d числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , где выражение a b · d c является частным от деления a b на c d .
Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:
Определение 1
Чтобы разделить обыкновенную дробь a b на c d , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.
Запишем правило в виде выражения: a b: c d = a b · d c
Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.
Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.
Пример 1
Выполнить деление 9 7 на 5 3 . Результат записать в виде дроби.
Решение
Число 5 3 – это обратная дробь 3 5 . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .
Ответ: 9 7: 5 3 = 27 35 .
При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.
Пример 2
Разделить 8 15: 24 65 . Ответ записать в виде дроби.
Решение
Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Выделяем целую часть и получаем 13 9 = 1 4 9 .
Ответ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Деление необыкновенной дроби на натуральное число
Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить a b на натуральное число n , необходимо умножить только знаменатель на n . Отсюда получим выражение: a b: n = a b · n .
Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .
Рассмотрим данное деление дроби на число.
Пример 3
Произвести деление дроби 16 45 на число 12 .
Решение
Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 16 45: 12 = 16 45 · 12 .
Произведем сокращение дроби. Получим 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .
Ответ: 16 45: 12 = 4 135 .
Деление натурального числа на обыкновенную дробь
Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную a b , необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби a b .
Исходя из правила, имеем n: a b = n · b a , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n: a b = n · b a . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.
Пример 4
Делить 25 на 15 28 .
Решение
Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46 2 3 .
Ответ: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Деление обыкновенной дроби на смешанное число
При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.
Пример 5
Разделить дробь 35 16 на 3 1 8 .
Решение
Так как 3 1 8 - смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 3 1 8 = 3 · 8 + 1 8 = 25 8 . Теперь произведем деление дробей. Получим 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10
Ответ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.
Как разделить простую дробь на натуральное число?Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.
Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:
Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.
Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь - это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.
Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.
Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:- для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
- запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.
Тип урока: ОНЗ (открытие новых знаний – по технологии деятельностного метода обучения).
Основные цели:
- Вывести приемы деления дроби на натуральное число;
- Сформировать способность к выполнению деления дроби на натуральное число;
- Повторить и закрепить деление дробей;
- Тренировать способность к сокращению дробей, анализу и решению задач.
Оборудование демонстрационный материал:
1. Задания для актуализации знаний:
Сравните выражения:
Эталон:
2. Пробное (индивидуальное) задание.
1. Выполните деление:
2. Выполните деление, не выполняя всю цепочку вычислений: .
Эталоны:
- При делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.
- Если числитель делится на натуральное число, то при делении дроби на это число можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить прежним.
Ход урока
I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.
Цель этапа:
- Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);
- Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»);
- Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»).
Организация учебного процесса на этапе I.
Здравствуйте! Я рада видеть вас всех на уроке математики. Надеюсь, это взаимно.
Ребята, какие новые знания вы приобрели на прошлом уроке? (Делить дроби).
Верно. Что вам помогает выполнять деление дробей? (Правило, свойства).
Где эти знания нам необходимы? (В примерах, уравнениях, задачах).
Молодцы! Вы хорошо справились с заданиями на прошлом уроке. Хотите и сегодня открыть сами новые знания? (Да).
Тогда – в путь! А девизом урока возьмём высказывание «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!».
II. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.
Цель этапа:
- Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания. Зафиксировать эти способы вербально (в речи) и знаково (эталон) и обобщить их;
- Организовать актуализацию мыслительных операций и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
- Мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;
- Предъявить индивидуальное задание для пробного действия и проанализировать его с целью выявления нового учебного содержания;
- Организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;
- Организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения;
- Организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обоснования.
Организация учебного процесса на этапе II.
Фронтально, с использованием планшетов (индивидуальных досок).
1. Сравните выражения:
(Эти выражения равны)
Что интересного вы заметили? (Числитель и знаменатель делимого, числитель и знаменатель делителя в каждом выражении увеличились в одно и то же число раз. Т.о., делимые и делители в выражениях представлены дробями, равными между собой).
Найдите значение выражения и запишите на планшете. (2)
Как записать это число в виде дроби?
Как вы выполнили действие деления? (Дети проговаривают правило, учитель вывешивает на доску буквенные обозначения)
2. Вычислите и запишите только результаты:
3. Сложите полученные результаты и запишите ответ. (2)
Как называется число, полученное в задании 3? (Натуральное)
Как вы думаете, сможете ли дробь разделить на натуральное число? (Да, постараемся)
Попробуйте это выполнить.
4. Индивидуальное (пробное) задание.
Выполните деление: (только пример а)
По какому правилу вы выполнили деление? (По правилу деления дроби на дробь)
А теперь разделите дробь на натуральное число более простым способом, не выполняя всю цепочку вычислений: (пример б). Даю вам на это 3 секунды.
У кого не получилось выполнить задание за 3 секунды?
У кого получилось? (Нет таких)
Почему? (Не знаем способа)
Что получили? (Затруднение)
А как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Делить дроби на натуральные числа)
Верно, откройте тетради и запишите тему урока «Деление дроби на натуральное число».
Почему эта тема звучит как новая, ведь вы уже умеете делить дроби? (Нужен новый способ)
Верно. Сегодня установим приём, упрощающий деление дроби на натуральное число.
III. Выявление места и причины затруднения.
Цель этапа:
- Организовать восстановление выполненных операций и зафиксировать (вербальную и знаковую) место – шага, операции, где возникло затруднение;
- Организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом) и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.
Организация учебного процесса на этапе III.
Какое задание вы должны были выполнить? (Разделить дробь на натуральное число, не проделывая всю цепочку вычислений)
Что вызвало у вас затруднение? (Не смогли решить за короткое время быстрым способом)
Какую цель мы ставим перед собой на уроке? (Найти быстрый способ деления дроби на натуральное число)
Что вам поможет? (Уже известное правило деления дробей)
IV. Построение проекта выхода из затруднения.
Цель этапа:
- Уточнение цели проекта;
- Выбор способа (уточнение);
- Определение средств (алгоритм);
- Построение плана достижения цели.
Организация учебного процесса на этапе IV.
Вернёмся к пробному заданию. Вы сказали, что делили по правилу деления дробей? (Да)
Для этого заменили натуральное число дробью? (Да)
Какой шаг (или шаги), на ваш взгляд, можно пропустить?
(На доске открыта цепочка решения:
Проанализируйте и сделайте вывод. (Шаг 1)
Если нет ответа, то подводим через вопросы:
Куда попал натуральный делитель? (В знаменатель)
Числитель изменился при этом? (Нет)
Так какой шаг можно «опустить»? (Шаг 1)
План действий:
- Умножить знаменатель дроби на натуральное число.
- Числитель не изменяем.
- Получаем новую дробь.
V. Реализация построенного проекта.
Цель этапа:
- Организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний;
- Организовать фиксацию построенного способа действия в речи и знаков (с помощью эталона);
- Организовать решение исходной задачи и зафиксировать преодоление затруднения;
- Организовать уточнение общего характера нового знания.
Организация учебного процесса на этапе V.
А теперь выполните пробный пример новым способом быстро.
Теперь вы смогли выполнить задание быстро? (Да)
Объясните, как вы это сделали? (Дети проговаривают)
Значит, мы получили новое знание: правило деления дроби на натуральное число.
Молодцы! Проговорите его в парах.
Затем один ученик проговаривает классу. Фиксируем правило-алгоритм словесно и в виде эталона на доске.
Введите теперь буквенные обозначения и запишите формулу для нашего правила.
Ученик записывает на доске, проговаривая правило: при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.
(Все пишут формулу в тетрадях).
А теперь ещё раз проанализируйте цепочку решения пробного задания, обратив особое внимание на ответ. Что сделали? (Числитель дроби 15 разделили (сократили) на число 3)
Что это за число? (Натуральное, делитель)
Так как еще можно разделить дробь на натуральное число? (Проверить: если числитель дроби делится на это натуральное число, то можно числитель разделить на это число, результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним)
Запишите этот способ в виде формулы. (Ученик записывает на доске проговаривая правило. Все записывают формулу в тетрадях.)
Вернёмся к первому способу. Можно им пользоваться в случае, если a:n? (Да, это общий способ)
А когда второй способ удобно применять? (Когда числитель дроби делится на натуральное число без остатка)
VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.
Цель этапа:
- Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении типовых задач с их проговариванием во внешней речи (фронтально, в парах или группах).
Организация учебного процесса на этапе VI.
Вычисли новым способом:
- №363 (а; г) – выполняют у доски, проговаривая правило.
- №363 (д; е) – в парах с проверкой по образцу.
VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель этапа:
- Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на новый способ действия;
- Организовать самопроверку на основе сопоставления с эталоном;
- По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию усвоения нового способа действия.
Организация учебного процесса на этапе VII.
Вычисли новым способом:
- №363 (б; в)
Учащиеся проверяют по эталону, отмечают правильность выполнения. Анализируются причины ошибок и ошибки исправляются.
Учитель спрашивает тех учащихся, кто допустил ошибки, в чём причина?
На этом этапе важно, чтобы каждый учащийся самостоятельно проверил свою работу.
VIII. Включение в систему знаний и повторение.
Цель этапа:
- Организовать выявление границ применения нового знания;
- Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.
Организация учебного процесса на этапе VIII.
Организация учебного процесса на этапе IX.
1. Диалог:
Ребята, какое новое знание вы сегодня открыли? (Научились делить дробь на натуральное число простым способом)
Сформулируйте общий способ. (Говорят)
Каким способом, и в каких случаях можно пользоваться ещё? (Говорят)
В чём преимущество нового способа?
Достигли ли мы поставленной нами цели урока? (Да)
Какие знания вы использовали для достижения цели? (Говорят)
Всё ли у вас получилось?
В чём были затруднения?
2. Домашнее задание: п.3.2.4.; №365(л, н, о, п); №370.
3. Учитель: я рада, что сегодня все были активны, сумели найти выход из затруднения. А самое главное, не были соседями при открытии нового и его закреплении. Спасибо вам за урок, дети!
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
По определению имеем:
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача. Найдите значение выражения:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).
Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
По определению имеем:
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Правильное решение:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.
) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).
Формула умножения дробей:
Например:
Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.
Деление обыкновенной дроби на дробь.
Деление дробей с участием натурального числа.
Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:
Умножение смешанных дробей.
Правила умножения дробей (смешанных):
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем дробь;
- если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Второй способ умножения дроби на натуральное число.
Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.
Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.
Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Многоэтажные дроби.
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.
Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:
Практические советы при умножении и делении дробей:
1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.
2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.
3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.
4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
