Т. Косякова,
школа N№ 80, г. Краснодар

Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры

Урок 4

Тема урока:

Цель урока: формировать умение решать дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры.

Тип урока: введение нового материала.

1. (Устно.) Решите уравнения:

Пример 1 . Решите уравнение

Решение.

Найдем недопустимые значения a :

Ответ. Если если a = – 19 , то корней нет.

Пример 2 . Решите уравнение

Решение.

Найдем недопустимые значения параметра a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a , a = 5.

Ответ. Если a = 5 a № 5 , то x=10–a .

Пример 3 . При каких значениях параметра b уравнение имеет:

а) два корня; б) единственный корень?

Решение.

1) Найдем недопустимые значения параметра b :

x = b , b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b = 0 или b = 2;
x = 2, 4(b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b = 2 или b = – 2.

2) Решим уравнение x 2 (b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4b 2 .

а)

Исключая недопустимые значения параметра b , получаем, что уравнение имеет два корня, если b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

б) 4b 2 = 0, b = 0, но это недопустимое значение параметра b ; если b 2 –1=0 , т. е. b =1 или.

Ответ: а) если b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два корня; б) если b =1 или b=–1 , то единственный корень.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Решите уравнения:

Вариант 2

Решите уравнения:

Ответы

В-1 . а) Если a =3 , то корней нет; если б) если если a № 2 , то корней нет.

В-2. Если a =2 , то корней нет; если a =0 , то корней нет; если
б) если a =– 1 , то уравнение теряет смысл; если то корней нет;
если

Задание на дом.

Решите уравнения:

Ответы: а) Если a № –2 , то x=a ; если a =–2 , то решений нет; б) если a № –2 , то x=2 ; если a =–2 , то решений нет; в) если a =–2 , то x – любое число, кроме 3 ; если a № –2 , то x=2 ; г) если a =–8 , то корней нет; если a =2 , то корней нет; если

Урок 5

Тема урока: «Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры».

Цели урока:

обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.

Тип урока: систематизации и обобщения.

Проверка домашнего задания.

Пример 1 . Решите уравнение

а) относительно x; б) относительно y.

Решение.

а) Найдем недопустимые значения y : y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y ,

y=0 – недопустимое значение параметра y .

Если y № 0 , то x=y–2 ; если y=0 , то уравнение теряет смысл.

б) Найдем недопустимые значения параметра x : y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0 – недопустимое значение параметра x ; y(2+x–y)=0, y=0 или y=2+x;

y=0 не удовлетворяет условию y(y–x) № 0 .

Ответ: а) если y=0 , то уравнение теряет смысл; если y № 0 , то x=y–2 ; б) если x=0 x № 0 , то y=2+x .

Пример 2 . При каких целых значениях параметра a корни уравнения принадлежат промежутку

D = (3a + 2) 2 – 4a (a + 1)·2 = 9a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a ,

D = (a + 2) 2 .

Если a № 0 или a № – 1 , то

Ответ: 5 .

Пример 3 . Найдите относительно x целые решения уравнения

Ответ. Если y=0 , то уравнение не имеет смысла; если y=–1 , то x – любое целое число, кроме нуля; если y№ 0, y№ – 1 , то решений нет.

Пример 4. Решите уравнение с параметрами a и b .

Если a № – b , то

Ответ. Если a= 0 или b= 0 , то уравнение теряет смысл; если a № 0, b № 0, a=–b , то x – любое число, кроме нуля; если a № 0, b № 0, a № –b, то x=–a, x=–b .

Пример 5 . Докажите, что при любом значении параметра n, отличном от нуля, уравнение имеет единственный корень, равный – n .

Решение.

т. е. x=–n , что и требовалось доказать.

Задание на дом.

1. Найдите целые решения уравнения

2. При каких значениях параметра c уравнение имеет:
а) два корня; б) единственный корень?

3. Найдите все целые корни уравнения если a О N .

4. Решите уравнение 3xy – 5x + 5y = 7: а) относительно y ; б) относительно x .

1. Уравнению удовлетворяют любые целые равные значения x и y, отличные от нуля.
2. а) При
б) при или
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Если то корней нет; если
б) если то корней нет; если

Контрольная работа

Вариант 1

1. Определите тип уравнения 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 при: а) c=–3 ; б) c=2 ; в) c=4 .

2. Решите уравнения: а) x 2 –bx=0 ; б) cx 2 –6x+1=0 ; в)

3. Решите уравнение 3x–xy–2y=1:

а) относительно x ;
б) относительно y .

nx 2 – 26x + n = 0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.

5. При каких значениях b уравнение имеет:

а) два корня;
б) единственный корень?

Вариант 2

1. Определите тип уравнения 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 при: а) c=–4 ; б) c=7 ; в) c=1 .

2. Решите уравнения: а) y 2 +cy=0 ; б) ny 2 –8y+2=0 ; в)

3. Решите уравнение 6x–xy+2y=5:

а) относительно x ;
б) относительно y .

4. Найдите целые корни уравнения nx 2 –22x+2n=0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.

5. При каких значениях параметра a уравнение имеет:

а) два корня;
б) единственный корень?

Ответы

В-1. 1. а) Линейное уравнение;
б) неполное квадратное уравнение; в) квадратное уравнение.
2. а) Если b=0 , то x=0 ; если b№ 0 , то x=0, x=b ;
б) если cО (9;+Ґ ) , то корней нет;
в) если a =–4 , то уравнение теряет смысл; если a № –4 , то x=–a .
3. а) Если y=3 , то корней нет; если);
б) a =–3, a =1.

Дополнительные задания

Решите уравнения:

Литература

1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала. – Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами. – Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2. – М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тынякин С.А. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. – Волгоград, 1991.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.

До сих пор мы решали только уравнения целые относительно неизвестного, то есть уравнения, в которых знаменатели (если таковые имелись) не содержали неизвестное.

Часто приходится решать уравнения, содержащие неизвестное в знаменателях: такие уравнения называются дробными.

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на то есть на многочлен, содержащий неизвестное. Будет ли новое уравнение равносильно данному? Чтобы ответить на вопрос, решим это уравнение.

Умножив обе части его на , получим:

Решив это уравнение первой степени, найдём:

Итак, уравнение (2) имеет единственный корень

Подставив его в уравнение (1), получим:

Значит, является корнем и уравнения (1).

Других корней уравнение (1) не имеет. В нашем примере это видно, например, из того, что в уравнении (1)

Как неизвестный делитель должен быть равен делимому 1, разделённому на частное 2, то есть

Итак, уравнения (1) и (2) имеют единственный корень Значит, они равносильны.

2. Решим теперь такое уравнение:

Простейший общий знаменатель: ; умножим на него все члены уравнения:

После сокращения получим:

Раскроем скобки:

Приведя подобные члены, будем иметь:

Решив это уравнение, найдём:

Подставив в уравнение (1), получим:

В левой части получили выражения, не имеющие смысла.

Значит, корнем уравнения (1) не является. Отсюда следует, что уравнения (1) и неравносильны.

Говорят в этом случае, что уравнение (1) приобрело посторонний корень.

Сравним решение уравнения (1) с решением уравнений, рассмотренных нами раньше (см. § 51). При решении этого уравнения нам пришлось выполнить две такие операции, которые раньше не встречались: во-первых, мы умножили обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (общий знаменатель), и, во-вторых, мы сокращали алгебраические дроби на множители, содержащие неизвестное.

Сравнивая уравнение (1) с уравнением (2), мы видим, что не все значения х, допустимые для уравнения (2), являются допустимыми для уравнения (1).

Именно числа 1 и 3 не являются допустимыми значениями неизвестного для уравнения (1), а в результате преобразования они стали допустимыми для уравнения (2). Одно из этих чисел оказалось решением уравнения (2), но, разумеется, решением уравнения (1) .оно быть не может. Уравнение (1) решений не имеет.

Этот пример показывает, что при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, и при сокращении алгебраических дробей может получиться уравнение, неравносильное данному, а именно: могут появиться посторонние корни.

Отсюда делаем такой вывод. При решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе, полученные корни надо проверять подстановкой в первоначальное уравнение. Посторонние корни надо отбросить.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Уравнения с дробями сами по себе не трудны и очень интересны. Рассмотрим виды дробных уравнений и способы их решения.

Как решать уравнения с дробями – икс в числителе

В случае, если дано дробное уравнение, где неизвестное находится в числителе, решение не требует дополнительных условий и решается без лишних хлопот. Общий вид такого уравнения – x/a + b = c, где x – неизвестное, a,b и с – обычные числа.

Найти x: x/5 + 10 = 70.

Для того чтобы решить уравнение, нужно избавиться от дробей. Умножаем каждый член уравнения на 5: 5x/5 + 5×10 = 70×5. 5x и 5 сокращается, 10 и 70 умножаются на 5 и мы получаем: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Найти x: x/5 + x/10 = 90.

Данный пример – немного усложненная версия первого. Тут есть два варианта решения.

• Вариант 1: Избавляемся от дробей, умножая все члены уравнения на больший знаменатель, то есть на 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Вариант 2: Складываем левую часть уравнения. x/5 + x/10 = 90. Общий знаменатель – 10. 10 делим на 5, умножаем на x, получаем 2x. 10 делим на 10, умножаем на x, получаем x: 2x+x/10 = 90. Отсюда 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Нередко встречаются дробные уравнения, в которых иксы находятся по разные стороны знака равно. В таких ситуация необходимо перенести все дроби с иксами в одну сторону, а числа в другую.

• Найти x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Переносим 2x/5 направо с противоположным знаком: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Сокращаем 5x/5 и получаем: x = 130.

Как решить уравнение с дробями – икс в знаменателе

Данный вид дробных уравнений требует записи дополнительных условий. Указание этих условий является обязательной и неотъемлемой частью правильного решения. Не приписав их, вы рискуете, так как ответ (даже если он правильный) могут просто не засчитать.

Общий вид дробных уравнений, где x находится в знаменателе, имеет вид: a/x + b = c, где x – неизвестное, a, b, c – обычные числа. Обратите внимание, что x-ом может быть не любое число. Например x не может равняться нулю, так как делить на 0 нельзя. Именно это и является дополнительным условием, которое мы должны указать. Это называется областью допустимых значений, сокращенно – ОДЗ.

Найти x: 15/x + 18 = 21.

Сразу же пишем ОДЗ для x: x ≠ 0. Теперь, когда ОДЗ указана, решаем уравнение по стандартной схеме, избавляясь от дробей. Умножаем все члены уравнения на x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Часто встречаются уравнения, где в знаменателе стоит не только x, но и еще какое-нибудь действие с ним, например сложение или вычитание.

Найти x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Мы уже знаем, что знаменатель не может равняться нулю, а значит x-3 ≠ 0. Переносим -3 в правую часть, меняя при этом знак “-” на ”+” и получаем, что x ≠ 3. ОДЗ указана.

Решаем уравнение, умножаем все на x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Переносим иксы направо, числа налево: 24 = 3x => x = 8.

"Решение дробных рациональных уравнений"

Цели урока:

Обучающая:

формирование понятия дробных рационального уравнения; рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений; рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю; обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму; проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; развитие критического мышления; развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)

2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).

3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)

4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)

5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)

6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6

х2-6х-х2-5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

D=1›0, х1=3, х2=4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

(х2-2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5)
(х2-2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0
х(х-5)(х2-2х-5-(х+5))=0			х2-2х-5-х-5=0
х(х-5)(х2-3х-10)=0
х=0 х-5=0 х2-3х-10=0
х1=0 х2=5 D=49
Ответ : 0;5;-2.			Ответ : 5;-2.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .) Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .) Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

х2-3х-10=0 , D=49 , х1=5 , х2=-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

4. Решить уравнение.

5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.

6. Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8»,2007: № 000(б, в,и); № 000(а, д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

3. Решить в тетрадях № 000(а, г,д); № 000(г, з).

4. Попробовать решить № 000(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

«5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания. «4» - 75%-89% «3» - 50%-74% «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания. Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно; 2 – интересно, но не понятно; 3 – не интересно, но понятно; 4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.