На этом уроке рассмотрим типы задач на доли и проценты. Научимся решать эти задачи и выясним, с какими из них мы можем столкнуться в реальной жизни. Узнаем общий алгоритм для решения подобных задач.
Мы не знаем, какое было число изначально, но знаем, сколько получилось, когда от него взяли некую дробь. Нужно найти исходное.
То есть мы не знаем , но знаем и .
Пример 4
Дедушка своей жизни провел в деревне, что составило 63 года. Сколько лет дедушке?
Нам неизвестно исходное число - возраст. Но мы знаем долю и сколько лет эта доля составляет от возраста. Составляем равенство. Оно имеет вид уравнения с неизвестной . Выражаем и находим его.
Ответ: 84 года.
Не очень реалистичная задача. Вряд ли дедушка будет выдавать такую информацию о своих годах жизни.
А вот следующая ситуация очень распространена.
Пример 5
Скидка в магазине по карте 5 %. Покупатель получил скидку 30 рублей. Какова была стоимость покупки до скидки?
Мы не знаем изначального числа - стоимости покупки. Но знаем дробь (проценты, которые написаны на карте) и сколько составила скидка.
Составляем нашу стандартную строчку. Выражаем неизвестную величину и находим ее.
Ответ: 600 рублей.
Пример 6
Еще чаще мы сталкиваемся с такой задачей. Мы видим не величину скидки, а какая получилась стоимость после применения скидки. А вопрос тот же: сколько бы мы заплатили без скидки?
Пусть у нас опять 5%-я дисконтная карта. Мы показали на кассе карту и заплатили 1140 рублей. Какова стоимость без скидки?
Чтобы решить задачу в один прием, чуть переформулируем ее. Раз у нас 5%-я скидка, то сколько мы платим от полной цены? 95 %.
То есть нам неизвестна исходная стоимость, но мы знаем, что 95 % от нее составляет 1140 рублей.
Применяем алгоритм. Получаем начальную стоимость.
3. Интернет-сайт «Математика Онлайн» ()
Домашнее задание
1. Математика. 6 класс/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2011. Стр. 104-105. п.18. № 680; № 683; № 783 (а, б)
2. Математика. 6 класс/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2011. № 656.
3. В программе спортивных школьных соревнований были прыжки в длину, прыжки в высоту и бег. В соревнованиях по бегу приняли участие всех участников соревнований, в прыжках в длину - 30 % всех участников, и в соревнованиях по прыжкам в высоту - оставшиеся 34 ученика. Найдите число участников соревнований.
, izo_4_klass_urok_4.doc и ещё 524 файл(а).
Показать все связанные файлы
Тема урока. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби (2 урок.)
Добрый день. Сегодня мы продолжим изучать начатую тему - будем решать задачи по нахождению дроби от числа. И «восстанавливать» число по его дроби.
Предлагаю рассмотреть ряд примеров.
Дроби используют в математике , чтобы кратко обозначить часть рассматриваемой величины.
Но если есть часть, то обязательно есть и целое (то, отчего была взята эта часть).
Зная целое, можно найти его часть, указанную соответствующей дробью.
Запишите в тетрадь и разберите задачу.
Пример1. Рассмотрим задачу.
В книге 160 страниц. Юра прочитал 4/5 книги. Сколько страниц прочитал Юра?
Прежде всего найдём в задаче целое. Это - вся книга и в ней всего 160 страниц.
Посмотрим на дробь (часть) от целого: 4/5. Знаменатель равен 5, значит, целое разделили на 5 частей и мы можем найти сколько страниц составляет 1/5 часть.
1) 160: 5 = 32 (стр.) - составляет 1/5 часть страниц.
Числитель дроби равен 4, значит взято 4 части.
2) 32 4 = 128 (стр.) - составляют 4/5 книги.
Ответ: Юра прочитал 128 стр.
Правило. Чтобы найти дробь от числа , необходимо это число разделить на знаменатель, и полученный результат умножить на ее числитель.
А теперь попробуйте решить задачу самостоятельно. И сравните решение с приведенным ниже.
Пример2.
Найти 7/20 от 40.
Целое число это 40. Искомая часть - это 7/20 от 40. Знаменатель равен 20, значит наше целое число - 40 разделили на 20 частей, и мы можем найти чему равна 1/20 часть от нашего числа.
1)40:20=2 - составляет 1/20 заданного числа. А нам нужно взять 7 таких частей. Значит нужно:
Таким образом 7/20 от 40 будет равно 14.
Ответ: 14.
А теперь рассмотрим обратную задачу.
Пусть у нас известна какая-то часть числа. Как же найти все число?
Рассмотрим задачу.
Поезд прошёл 240 км, что составило 15/23 всего пути. Какой путь должен пройти поезд?
Решение. Весь путь нам не известен. Но известно, что его разделили на 23 равные части, так как знаменатель равен 23. А так как числитель равен 15, то поезд прошел 15/23 всего пути, что составляет 240 км.
Тогда имеем:
15/23 - 240 км.
Весь путь - ?
Решение
1) 240: 15 = 16 (км). - это 1/23 часть всего пути.
Весь путь (целое) всегда обозначаем за единицу, которую можно выразить дробью 23/23.
Значит, чтобы найти весь путь (23 части, каждая из которых по 16 км) нужно:
2) 16 23 = 368 (км)
Ответ: весь путь составляет 368 км.
Правило. Чтобы найти (восстановить) число по его дроби необходимо данное число разделить на числитель и полученный результат умножить на знаменатель.
Попробуйте самостоятельно решить пример. И сравните полученный результат с приведенным ниже.
В классе 12 мальчиков, что составляет 4/5части всех учеников класса. Сколько всего человек учится в классе?
Имеем:
4/5 - 12 детей.
Всего детей - ?
1) 12: 4 = 3 (ребенка) - это составляет 1/5 часть класса. Тогда всего в классе:
2) 3 5 =15 (детей)
Ответ: всего в классе 15 детей.
Рассмотрим еще задачу.
Для подарков детям купили 8 кг. конфет, а потом еще докупили 3/4 от этого количества.
Купили- 8кг
Докупили ѕ от 8 кг.
Решение.
: 4 = 2 (кг) - 1 /4 от 8 кг.
3 = 6 (кг) - 3 /4 от 8 кг.
Краткий итог по задаче. Изначально запланировали купить 8 кг. - т. е. это целая часть - 1 = 8 кг. А затем докупили еще 3 / 4 от нашей целой части , т.е от 8 кг. - что составляет 6кг.
И тогда имеем:
14 кг - 1 + 3 /4
Рассмотрим задачу 986 из учебника.
Всего -280 кг. мороженного
1-й день - 3/7 кг. продали
2-й день 3 /4 от проданного в 1-й день
Продали за 2 дня - ?
Решение :
Вначале найдем сколько мороженного было продано в 1-й день.
1)280: 7 = 40 (кг) - 1/7 часть от всего мороженного.
2) 40 3 = 120 (кг) - 3/7 всего мороженного (столько мороженного продали в 1-й день). А теперь найдем ѕ от количества мороженного проданного в 1-й день. - т.е мороженное, проданное во второй день. Тогда целая часть будет составлять 120 кг. А 3/ 4 этой части.
4 = 30 (кг) - 1 /4 часть от мороженого, проданного в 1-й день.
3)120 + 90 = 210 (кг).
Ответ: всего продали 210 кг. мороженного за 2 дня.
Краткий итог по задаче. Вначале мы нашли часть от целого числа (от 280 кг.) И получили 120 кг. А затем уже мы находили часть от 120 кг. И получили в итоге 90 кг., что составляет ѕ от 120 кг.
Рассмотрим задачу? 990 из учебника.
Груши - 30 000 мІ
Сливы - 7/3 от площади груш
Решение :
Вначале найдем какую площадь занята под сливы.
1)30 000: 3 = 10 000 (м. кв.) - 1/3 часть от площадей занятых под груши. А 7 таких частей занята под сливы. Тогда
00 7 = 70 000 (м. кв) - занято под сливы.
Решите самостоятельно упражнения: 974,978,980,981,984,987,988,989,992.
«Нахождение числа по его дроби»
[Технология деятельностного метода и развивающего обучения, с использованием цифровых технологий]
Тип урока: урок открытия и применения новых знаний при решении задач.
Цели урока: Научить находить число по его дроби и число по его проценту формировать навыки решении задач через совместное с учащимися открытие нового знания. Развивать познавательную активность, внимание, абстрактное мышление, интерес к предмету математики. Воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения.
Оборудование : компьютер (презентация PowerPoint), Інтернет- ресурс.
Ход урока.
I. Мотивация учебной деятельности (организационный момент). Цель: включение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне.
Мотивационная беседа. «Доброе утро!» - говорим мы друг другу и улыбаемся. «Доброе утро!» и солнышко улыбается. «Доброе утро!» и сердце наполняется радостью. А чтобы мышцы наполнились силой и бодростью, утром мы делаем что? Правильно! Зарядку! Зарядка необходима всем: и молодым, и пожилым. А особенно она необходима нашему мозгу. Как говорил великий русский полководец Александр Васильевич Суворов: "Математика – гимнастика ума". Займёмся и мы этой увлекательной гимнастикой.
II. Актуализация знаний
Цель: повторение изученного материала, необходимого для “открытия нового знания”.
Учащиеся работают на компьютерах, выполняют упражнения на т ренажере «Деление дробей» - http://www.download.ru , который содержит серию примеров на отработку навыков деления и умножения обыкновенных дробей и смешанных чисел. Ученик решает пример и вводит с клавиатуры ответ. Если решение верное, то автоматически осуществляется переход к следующему примеру. Если в решении есть ошибка, то компьютер возвращает ребенка к этому же примеру. Примеры генерируются случайным образом, и ученики, занимающиеся на соседних компьютерах, работают с разными заданиями. Программа отслеживает ошибки, которые сделал ребенок, и пишет свое заключение. Затем выставляется оценка. На всю работу отводится 3 минуты.
– Какую тему мы изучаем?
– Как вы думаете, какая работа предстоит на уроке?
– Что для этого вы должны будете сделать?
(Сами понять, что не знаем, а затем сами открыть новое.)
Готовы?
– С чего мы начали урок?
(С повторения.)
– Что мы повторили?
(То, что нам понадобится для изучения нового.)
Проверка домашнего задания.
В это время двое учащихся пишут решение на доске номеров из домашнего задания, вызвавших наибольшие затруднения. Учитель выясняет пробелы, организует их ликвидацию.
Ребята, задание выполнено, верно, солнышко на экране нам весело улыбается. Пусть у нас с вами будет на уроке такое же хорошее настроение.
Один учащийся работает на компьютере с учебным электронным изданием для 5-11 кл. «Новые возможности для усвоения курса математики» (заполняет ответы к домашним примерам.)
Остальные проверяют решение задачи, после этого проверяют решение примеров, которые записал ученик, по экрану компьютера (взаимопроверка).
Диктант «Правильно - неправильно» (в случае неправильного утверждения, учащиеся хлопают в ладоши.)
1. Чтобы найти дробь от числа, надо это число умножить на эту дробь (правильно)
2. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делитель умножить на число обратное делимому (не правильно)
3. Два числа, произведение которых равно нулю, называют взаимно обратными (не правильно).
4. 8/9: 0 = 0 (не правильно). (Какое правило использовано в данном примере?)
5. 0: 5/6 = 0 (правильно)
О! У вас всё получается прекрасно. А в старину очень нелегко усваивались обыкновенные дроби. Они считались самым трудным разделом арифметики. Об этом можно судить по следующим фактам. У нас есть поговорка: «Попал в тупик», у немцев и ныне в ходу поговорка похожая на нашу: «Попал в дроби». Обе эти поговорки означают одно и тоже: человек попал в очень трудное положение.
Математики разрабатывали правила действий с дробями, заставляя учащихся механически заучивать эти правила, не осознавая их смысла. Именно это было причиной тех, порой непреодолимых затруднений, которые встречали учащиеся. В наше время из математики давно исчезли правила, которые дети не могли бы понять. Эти правила вновь и вновь открывают сами дети. Итак, в области дробей нам и предстоит сегодня сделать для себя открытие.
Фиксация затруднения в пробном действии.
Проанализируйте все предложенные задачи и скажите, какая является «лишней»? Почему?
1. В классе 34 ученика 6/17 уехали на экскурсию. Сколько всего учеников уехали на экскурсию?
2. В классе 12 мальчиков. Это составляет всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?
3.Зина прочитала книги, в которой 120 страниц. Сколько страниц она прочитала?
4.Семья ежей собрала 50 грибов. Самый маленький ёж собрал 6% всех грибов. Сколько грибов собрали остальные ежи?
5.Мама купила 6 кг конфет. Витя сразу же съел всех конфет, и ему стало плохо. После, какого количества конфет у Вити разболелся живот?
Ученики выбирают лишнюю задачу (2) и обосновывают свой выбор. Значит тема урока решение такого типа задач. Приводятся различные способы решения этой задачи. Работа в парах.
Решение задачи:
Составим выражение: 12: 3 × 8 = 32 (уч.) в классе.
Как по-другому мы можем обозначить знак деления? (дробной чертой) Значит, 12 нужно умножить на . Дробь, обратную заданной дроби. Или разделить на .
Составим уравнение, обозначив через х количество учеников в классе.
× х = 12 и решим его,
Х = 12:
Несмотря на различные способы рассуждений, задачу мы решили и пришли к выводу, что … Вывод формулируют сами учащиеся.
Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо его значение разделить на эту дробь.
Составляем алгоритм.
Алгоритм нахождения числа по его части b , выраженной дробью m/n
Число b разделить на дробь m/n.
Опорный конспект
Число - ?
m/n его (числа) составляет b , то число = b:
Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
– Научились вы решать задачи на нахождение числа по его части? Как это проверить? (Выполнить самостоятельную работу.)
Найдите число, если: а) его составляют 45, б) его составляют 24,
) его составляют 18, г) его составляют , д) 6 % его составляют 48 Для слабых учащихся выдается по желанию подсказка: процентом называется одна сотая часть числа. Значит, 6 % = 0,06.
Проверка по эталону.
Физкультминутка.
Решение задач.
Повторение правила, алгоритма.
– Как найти число по его дроби?
Тренировочное упражнение.
– Решите задачи, в тетради запишите решение:
1) В классе 24 ученика. Из них 3/8 мальчики. Сколько в классе мальчиков?
2) Сколько человек было в кинотеатре, если 1/9 всех зрителей составляет 10 человек?
– Кто сразу сделал всё без ошибок? Молодцы!
– Кто нашёл свои ошибки? Что вам надо повторить?
– Все ошибки исправлены? Молодцы!
Включение в систему знаний и повторение.
– Выполним задание № 647, 648, 652.
Самостоятельная работа по карточкам
Ученикам предлагаются на выбор наборы карточек с задачами различной степени сложности. Если ученик довольно успешно справляется с задачами низкого уровня, может взять карточки с более сложными задачами.
На “3”:
Карточка 1
До привала туристы прошли 18 км. По карте они определили, что это 2/5 всего маршрута. Какова длина всего маршрута? (45 км)
Карточка 2
В игре участвовало 15 учащихся. Что составило 5/6 всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе? (18 человек)
Карточка 3
Преодолев 36 км, бегун пробежал 3/4 дистанции. Определите длину дистанции.(48 км)
На “4”:
Карточка 1
Иван посадил 2/5 всех саженцев яблонь, Пётр – треть, а Антон – последние 8 яблонь. Сколько яблонь посадили? (30 яблонь).
Карточка 2
В школьном саду 40% всех деревьев – яблони, 25% - вишни, 28% - сливы. Остальные 14 деревьев – груши. Сколько всего деревьев в школьном саду? (200 деревьев)
Карточка 3
В киоске в первый день продали 40% всех тетрадей, во второй день 3/5 того, что продали в первый, в третий – остальные 864 тетради. Сколько тетрадей продал киоск за три дня?
На “5”:
Карточка 1 – № 662 (300 т)
Карточка 2 – № 664 (576 га)
Карточка 3 – № 665 (360 км)
(Хорошо успевающие ученики затем могут выполнить дополнительное задание в рабочих тетрадях)
– Проверка по эталону. Кто не смог сам верно выполнить задание? А где вы сможете еще раз потренироваться в выполнении таких заданий?
(При выполнении домашнего задания)
– У кого нет ошибок? Молодцы! Поставьте себе пятёрку.
Рефлексия деятельности (итог урока).
– Как мы заканчиваем урок?
(Анализируем свою деятельность.)
– Какова была цель урока? Достигли ли мы цели? Докажите.
– Какие же трудности у вас ещё встречаются? Где можно над ними поработать?
– Нарисуйте в тетради “лестницу успеха” и оцените свою деятельность.
Домашнее задание. № № 680, 681, 691(а)
Творческое задание.
Решить задачу:
Мать для троих своих сыновей оставила утром на тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым проснулся старший из сыновей. Увидев на столе сливы, он съел третью часть их и ушел. Вторым проснутся средний. Думая, что его братья ещё не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее всех встал младший. Увидев сливы, он решил, что его братья ещё не ели их, а поэтому съел лишь третью часть лежавших на тарелке слив, после чего на тарелке осталось 8 слив. Сколько всего слив было в начале?
Составить задачу самому на тему данного урока.
Спасибо за урок!
«Нахождение числа по его дроби» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)
Краткое описание:
Вы уже умеете находить дробь от числа, а в этом разделе Вы выучите, как находить число по его дроби. Нужно быть очень внимательными, чтобы не запутаться, и все задачки решать быстро и правильно.
Давайте быстро вспомним, как мы находим дробь от числа: мы просто это число умножаем на дробь. Например, нужно найти 3/5 от числа 15. Решаем 3/5 * 15 = 3*15 / 5 =3*3=9. Зачем нам нужно знать, как это делать? Для того, чтобы уметь находить какую-то часть от чего-то целого. Например, зная какую часть книги Вы прочитали и сколько в ней всего страниц, Вы можете найти, сколько страниц осталось прочитать. Запомните, когда мы ищем дробь от числа, у нас есть что-то целое и его часть, и нам нужно это целое умножить на часть, таким образом, мы находим часть в количественном выражении и это число всегда будет меньше начального числа.
В задачах, когда мы ищем число по его дроби, это число всегда должно быть больше, ведь, по сути, мы ищем что-то целое, зная только его часть. Вот, например, Вы прочитали 100 страниц книги, но это только ее третья часть. А сколько всего страниц в книге? Как мы будем искать это число? Зная, что 100 страниц – это треть, нужно 100 * 3 и тогда мы узнаем, сколько страниц всего в книге – 100*3=300. А если попытаться решить через уравнение? Пусть х – общее число страниц в книге, как найти, сколько мы прочитали, нужно х умножить на 1/3 и это будет равно 100. Так – х * 1/3=100. Решаем уравнение дальше – х=100: 1/3, а мы уже выучили, чтобы поделить число на дробь, нужно его умножить на обратную дробь. Получается х=100: 1/3 = 100 * 3/1 = 300. Понятно? Значит, чтобы найти число, зная его дробную часть и ее значение, нам нужно значение (натуральное число) разделить на дробь, то есть умножить на перевернутую дробь и это число всегда будет больше, заданного нам в условии!
Если в задаче дана не дробь, а проценты, что нужно делать? Перевести проценты в десятичную дробь: 40%=0,40; 75%=0,75 и решать дальше по выученной схеме.
